计算机组织结构(二) 定点运算

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1. 移位运算

1.算数移位

• 符号位不变, 左移相当于乘以 2, 右移相当于除以 2(左侧全补符号位).

2. 逻辑移位

• 无符号数的移位, 右移时永远在高位填 0.

2. 加法运算

1. 全加器

• 𝑆_𝑖=𝑋_𝑖⊕𝑌_𝑖⊕𝐶_{𝑖−1}
• 𝐶_𝑖=𝑋_𝑖𝐶_{𝑖−1}+𝑌_𝑖𝐶_{𝑖−1}+𝑋_𝑖𝑌_𝑖

2. Serial Carry Adder

• 缺点: 速度慢.
• 延时(OR AND 1ty, XOR 3ty)
  • Cn: 2n ty
  • Sn: 2n+1 ty

3. Carry Look Ahead Adder

注意：这里的+均为“或”

可见,Ci 仅与最初的X Y和 C_0有关.令𝑃_𝑖=𝑋_𝑖+𝑌_𝑖, 𝐺_𝑖=𝑋_𝑖𝑌_i则:

总结得:C_{i+1} = G_{i+1}+P_{i+1}C_i, 超前进位加法器采用的是将低一位的逻辑代数代入高一位, 依此类推最终每一个进位输出仅考虑 C_0, X_i, Y_i几个信号, 于是所有的进位都能同时计算.

• 缺点:复杂
• 延时: 1 ty+ 2ty + 3 ty = 6 ty

4. Partial Carry Look Ahead Adder

结合两者

5. 溢出判断

• C_n\oplus C_{n-1} =1, 即符号位进位与最高有效位进位不同时,发生溢出.
• 𝑋_𝑛 𝑌_𝑛 \overline{𝑆_𝑛}+\overline{𝑋_𝑛𝑌_𝑛}𝑆_𝑛=1,则溢出,与上面等价.

3. 减法运算

减法运算大致与加法相同,只需要将减数取反加一然后按加法算即可, 注意加一的操作是令 C_0 = 1.

4. 乘法运算

1. 无符号整数乘法

通过加法和移位实现,与竖式乘法极其类似,但是计算机很难像人类那样一次性把各位乘的结果一次性相加,因此采用部分积的方式:例:0111\times0110

• 乘数末位决定被乘数是否加到部分积,然后部分积和乘数均右移,部分积低位保存到乘数高位.
• 被乘数只与部分积高位相加

原理:

2. 补码整数乘法

根据上面无符号整数的原理, 可以将二进制补码整数相乘变形如下:

形式上还原了,只是每次乘的不是乘数的末位数, 且注意是算数右移,需要补符号位,例: -7\times-6 = 42,即 1001\times1010=00101010

5. 除法运算

1. unsigned

1.人的计算:除数右移, 2n位

• 竖式计算:

1. 计算机的计算: 余数左移, n位

2. 带有符号的除法

• 如何判断余数(的绝对值)是否大于除数(的绝对值)?
  • 同号则减, 异号则加. 与结果符号相同的那个数绝对值大

1. 恢复余数法 在下面的步骤中,余数和除数的和是存储在余数寄存器里面的,判断完成后,还要恢复原来的余数(即减去余数).之前的不带符号位除法也都是恢复余数法,只是没有表示出来.

最后,结果取 0010 的补码整数 1110 为最终结果.

• 缺点:Problem: recover remainder is high cost
• 解决方案:使用不恢复余数法(加减相消法)

2 .加减相消法

规则

将被除数符号拓展 n 位后存储在余数和商寄存器.

如果被除数与除数符号相同, 作减法; 若符号位不同, 作加法.

若新的余数与除数符号相同, 上商 1; 否则上商 0.

新的余数(指左移前的余数)与除数符号位相同, 则

Ri+1=2Ri−Y, 即余数=余数<<1-除数;否则

Ri+1=2Ri+Y

商的修正:

商左移一位. 若被除数和除数异号(即商为负), 商加一

若余数与被除数符号不同:

若被除数和除数同号,余数加除数

若被除数和除数异号,余数减除数

注意：若做完如上修正后，余数为除数相反数，需要将余数置为0，同时商减一

示例: