Wallis formula（华里士/沃利斯公式）

AXYZdong

发布于 2022-01-07 11:12:02

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前言

Wallis formula 有两个中文名字，华里士 公式和 沃利斯公式，中文名看起来差别很大对吧，其实他俩是同一个公式。它还有个名字叫做 点火公式。

偶数时点火成功乘

\frac{\pi}{2}

，奇数时点火失败以 1 打止。

这个公式是用来解决什么样的问题呢？

1. 公式内容

Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下：

\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2}

其中：

(2n)!!=2\times4\times6\times...\times(2n)

，

(2n-1)!!=1\times3\times5\times...\times(2n-1)

2. 正余弦函数的 Wallis 公式

2.1 正弦函数（sin）的 Wallis公式

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{(n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & \text {n为正奇数} \end{cases}

即：

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & \text {n为正奇数} \end{cases}

2.2 余弦函数（cos）的 Wallis公式

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx= \begin{cases} \frac{(n-1)!!}{(n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & \text {n为正奇数} \end{cases}

即：

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text {n为正偶数} \\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & \text {n为正奇数} \end{cases}

2.3 两者之间关系

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx

当

n=1

时，

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin}^nxdx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos}^nxdx=1

3. 公式用途

公式多用于求解：

\sin x的n次方或\cos x的n次方在(0,\frac{\pi}{2})上的积分。

4. 举例

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^8 \theta d\theta=?

由 Wallis 公式：

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^8 \theta d\theta=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35\pi}{256}

利用公式是不是很快就做出来了呢？当然可以利用其它方法验证答案的正确性！

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原始发表：2021/01/18 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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