                                        若                            序                            列                            {                                       y                               n                                      }                            单                            调                            上                            升                            ，                            且                                                   lim                                  ⁡                                                      n                                  →                                  ∞                                                            y                               n                                      =                            +                            ∞                            ,                            则                                  若序列 \lbrace y_n \rbrace单调上升，且 \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty,则                     若序列{yn​}单调上升，且n→∞lim​yn​=+∞,则

                                                               lim                                  ⁡                                                      n                                  →                                  ∞                                                                        x                                  n                                                      y                                  n                                                 =                                                   lim                                  ⁡                                                      n                                  →                                  ∞                                                                                     x                                     n                                              −                                               x                                                   n                                        −                                        1                                                                                            y                                     n                                              −                                               y                                                   n                                        −                                        1                                                                                \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}                     n→∞lim​yn​xn​​=n→∞lim​yn​−yn−1​xn​−xn−1​​

                                             若                                                        lim                                     ⁡                                                           n                                     →                                     ∞                                                                  x                                  n                                          =                               l                               ，                               则                                                        lim                                     ⁡                                                           n                                     →                                     ∞                                                                  1                                  n                                                      ∑                                               k                                     =                                     1                                              n                                                      x                                  k                                          =                               l                                      若\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k=l                        若n→∞lim​xn​=l，则n→∞lim​n1​k=1∑n​xk​=l

                                             若                                           x                                  n                                          恒                               正                               ，                               且                                                        lim                                     ⁡                                                           n                                     →                                     ∞                                                                  x                                  n                                          =                               l                               ，                               则                               lim                               ⁡                                                                      ∏                                                       k                                           =                                           1                                                      n                                                                x                                        k                                                           n                                          =                               l                                      若 x_n恒正，且\lim_{n\to\infty}x_n=l，则\lim\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n{x_k}}=l                        若xn​恒正，且n→∞lim​xn​=l，则limnk=1∏n​xk​   ​=l

                                             若                                           x                                  n                                          >                               0                               ，                               且                               lim                               ⁡                                                        x                                                   n                                        +                                        1                                                                        x                                     n                                                      =                               l                               ，                               则                               lim                               ⁡                                                        x                                     n                                              n                                          =                               l                                      若 x_n>0 ，且\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=l，则\lim\sqrt[n]{x_n}=l                        若xn​>0，且limxn​xn+1​​=l，则limnxn​   ​=l

                                                               lim                                  ⁡                                                      n                                  →                                  ∞                                                                                     ∑                                                   k                                        =                                        1                                                  n                                              (                                  2                                  k                                  −                                  1                                               )                                     5                                                                               ∑                                                   k                                        =                                        1                                                  n                                              (                                  2                                  k                                               )                                     5                                                             =                            ?                                  \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5}{\sum_{k=1}^{n}(2k)^5}= ?                     n→∞lim​∑k=1n​(2k)5∑k=1n​(2k−1)5​=?

                                             x                            n                                  =                                   ∑                                       k                               =                               1                                      n                                  (                         2                         k                         −                         1                                   )                            5                                       x_n=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^5                  xn​=∑k=1n​(2k−1)5

                                             y                            n                                  =                                   ∑                                       k                               =                               1                                      n                                  (                         2                         k                                   )                            5                                       y_n=\sum_{k=1}^{n}(2k)^5                  yn​=∑k=1n​(2k)5

                                        原                            式                            =                                                   lim                                  ⁡                                                      n                                  →                                  ∞                                                                                     x                                     n                                              −                                               x                                                   n                                        −                                        1                                                                                            y                                     n                                              −                                               y                                                   n                                        −                                        1                                                                          =                                                   (                                  2                                  n                                  −                                  1                                               )                                     5                                                                  (                                  2                                  n                                               )                                     5                                                             =                            1                                  原式=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(2n-1)^5}{(2n)^5}=1                     原式=n→∞lim​yn​−yn−1​xn​−xn−1​​=(2n)5(2n−1)5​=1

斯托尔兹（Stolz）定理
                                        若                            序                            列                            {                                       y                               n                                      }

斯托尔兹（Stolz）定理

CSDN内容合伙人

斯托尔兹定理指出，若序列{yn}单调递增且趋于无穷，则xn/yn的极限等于其差分比极限。推论涵盖算术平均、几何平均及比值极限情形，并附实例演示定理应用，展示如何通过差分法求解复杂分式极限问题。

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