二分法还需要练习练习
在锻炼锻炼你的二分法
35.搜索插入位置
力扣题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
你可以假设数组中无重复元素。
示例 1:
- 输入: [1,3,5,6], 5
- 输出: 2
示例 2:
- 输入: [1,3,5,6], 2
- 输出: 1
示例 3:
- 输入: [1,3,5,6], 7
- 输出: 4
示例 4:
- 输入: [1,3,5,6], 0
- 输出: 0
思路
这道题目不难，但是为什么通过率相对来说并不高呢，我理解是大家对边界处理的判断有所失误导致的。
这道题目，要在数组中插入目标值，无非是这四种情况。
35_搜索插入位置3
- 目标值在数组所有元素之前
- 目标值等于数组中某一个元素
- 目标值插入数组中的位置
- 目标值在数组所有元素之后
这四种情况确认清楚了，就可以尝试解题了。
接下来我将从暴力的解法和二分法来讲解此题，也借此好好讲一讲二分查找法。
暴力解法
暴力解题 不一定时间消耗就非常高，关键看实现的方式，就像是二分查找时间消耗不一定就很低，是一样的。
C++代码
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 分别处理如下三种情况
// 目标值在数组所有元素之前
// 目标值等于数组中某一个元素
// 目标值插入数组中的位置
if (nums[i] >= target) { // 一旦发现大于或者等于target的num[i]，那么i就是我们要的结果
return i;
}
}
// 目标值在数组所有元素之后的情况
return nums.size(); // 如果target是最大的，或者 nums为空，则返回nums的长度
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
效率如下：
35_搜索插入位置
二分法
既然暴力解法的时间复杂度是O(n)，就要尝试一下使用二分查找法。
35_搜索插入位置4
大家注意这道题目的前提是数组是有序数组，这也是使用二分查找的基础条件。
以后大家只要看到面试题里给出的数组是有序数组，都可以想一想是否可以使用二分法。
同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下表可能不是唯一的。
大体讲解一下二分法的思路，这里来举一个例子，例如在这个数组中，使用二分法寻找元素为5的位置，并返回其下标。
35_搜索插入位置5
二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，就是写不好。
相信很多同学对二分查找法中边界条件处理不好。
例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？
这里弄不清楚主要是因为对区间的定义没有想清楚，这就是不变量。
要在二分查找的过程中，保持不变量，这也就是循环不变量 （感兴趣的同学可以查一查）。
二分法第一种写法
以这道题目来举例，以下的代码中定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要）。
这就决定了这个二分法的代码如何去写，大家看如下代码：
大家要仔细看注释，思考为什么要写while(left <= right)， 为什么要写right = middle - 1。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle;
}
}
// 分别处理如下四种情况
// 目标值在数组所有元素之前 [0, -1]
// 目标值等于数组中某一个元素 return middle;
// 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return right + 1
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， return right + 1
return right + 1;
}
};
- 时间复杂度：O(logn)
- 时间复杂度：O(1)
效率如下：
二分法第二种写法
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) 。
那么二分法的边界处理方式则截然不同。
不变量是[left, right)的区间，如下代码可以看出是如何在循环中坚持不变量的。
大家要仔细看注释，思考为什么要写while (left < right)， 为什么要写right = middle。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n; // 定义target在左闭右开的区间里，[left, right) target
while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，在 [middle+1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值的情况，直接返回下标
}
}
// 分别处理如下四种情况
// 目标值在数组所有元素之前 [0,0)
// 目标值等于数组中某一个元素 return middle
// 目标值插入数组中的位置 [left, right) ，return right 即可
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right)，return right 即可
return right;
}
};
- 时间复杂度：O(logn)
- 时间复杂度：O(1)
总结
希望通过这道题目，大家会发现平时写二分法，为什么总写不好，就是因为对区间定义不清楚。
确定要查找的区间到底是左闭右开[left, right)，还是左闭又闭[left, right]，这就是不变量。
然后在二分查找的循环中，坚持循环不变量的原则，很多细节问题，自然会知道如何处理了。
其他语言版本
Java
class Solution {
public int searchInsert(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 定义target在左闭右闭的区间，[low, high]
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) { // 当low==high，区间[low, high]依然有效
int mid = low + (high - low) / 2; // 防止溢出
if (nums[mid] > target) {
high = mid - 1; // target 在左区间，所以[low, mid - 1]
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1; // target 在右区间，所以[mid + 1, high]
} else {
// 1. 目标值等于数组中某一个元素 return mid;
return mid;
}
}
// 2.目标值在数组所有元素之前 3.目标值插入数组中 4.目标值在数组所有元素之后 return right + 1;
return high + 1;
}
}
Python
class Solution:
def searchInsert(self, nums: List[int], target: int) -> int:
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
middle = (left + right) // 2
if nums[middle] < target:
left = middle + 1
elif nums[middle] > target:
right = middle - 1
else:
return middle
return right + 1
JavaScript
var searchInsert = function (nums, target) {
let l = 0, r = nums.length - 1, ans = nums.length;
while (l <= r) {
const mid = l + Math.floor((r - l) >> 1);
if (target > nums[mid]) {
l = mid + 1;
} else {
ans = mid;
r = mid - 1;
}
}
return ans;
};
Swift
// 暴力法
func searchInsert(_ nums: [Int], _ target: Int) -> Int {
for i in 0..<nums.count {
if nums[i] >= target {
return i
}
}
return nums.count
}
// 二分法
func searchInsert(_ nums: [Int], _ target: Int) -> Int {
var left = 0
var right = nums.count - 1
while left <= right {
let middle = left + ((right - left) >> 1)
if nums[middle] > target {
right = middle - 1
}else if nums[middle] < target {
left = middle + 1
}else if nums[middle] == target {
return middle
}
}
return right + 1
}
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