【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换

@

目录

• 前言
• 1.3 n阶行列式
• 1.4 对换
  • 1.4.1 排列的对换
    • 概念
    • 定理1
      • 内容
      • 证明
    • 推论
  • 1.4.2 行列式的另一种表示方法
    • 定理2
      • 内容
      • 证明
• 结语

前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～ 自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！ 机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

1.3 n阶行列式

三阶行列式为：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\]

从中我们可以发现规律：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\]

其中t为排列

的逆序数

进而推出n阶行列式：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]

特殊情况1：

\[\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & & \\ & \lambda_2 & & & \\ & & . & & \\ & & & . &\\ & & & & \lambda_n \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n\]

特殊情况2：

\[\begin{vmatrix} & & & & \lambda_1 \\ &&& \lambda_2 &\\ && . &&\\ & . &&&\\ \lambda_n &&&& \end{vmatrix}= (-1)^\frac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n （其中(-1)^\frac{n(n-1)}{2}为排列n、 n-1 ... 3、 2、 1的逆序数）\]

1.4 对换

1.4.1 排列的对换

概念

• 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动。
• 相邻对换：在排列中，相邻两个元素进行对换

定理1

内容

一个排列中任意两个元素对换，奇偶性发生改变

证明

首先证明相邻对换的情况

设排列

a和b对换，变成

显然，

、

这些元素的逆序数没有发生变化

当a<b时

• 从ab变为ba，a的逆序数+1（a前面多了一个b），b的逆序数不变

当a>b时，

• 从ab变为ba，a的逆序数不变，b的逆序数-1（b前面少了一个a）

所以

排列中发生相邻对换，奇偶性会发现变化（奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列）

再来证明一般情况

,a与b发生对换，变为

我们可以先用

与

进行相邻对换，变为

再用

与

进行相邻对换，变为

. . . 最后

与

进行相邻对换，变为

一共经历了m次相邻对换

和

对换，一共就是m次

然后，我们再用

与

进行相邻对换,变为

再用

与

进行相邻对换,变为

. . . 最后

与

进行相邻对换,变为

一共经历了（m+1）次相邻对换

综上

一共发生了m+（m+1）=2m+1次相邻对换

从最开始的证明可以得出

2m+1次相邻对换后，排列的奇偶性还是会发生改变 （交换1次，奇偶性发生转变；交换2次，奇偶性不发生变化-->交换奇数次，奇偶性发生转变；偶数次则不会。2m+1一定是奇数 ，当m为正整数时）

推论

齐排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

说明

首先，标准排列是逆序数为0的偶排列 从定理1可以得知，对换一次，奇偶性发生改变 若是齐排列，对换一次，奇->偶，再对换一次，偶->奇... 对换奇数次，最后变为了偶排列； 对换偶数次，最后变为奇排列。 所以齐排列变成标准排列的对换次数一定为奇数。 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数同理可证。

1.4.2 行列式的另一种表示方法

n阶行列式有：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\]

我们选择任意一项：

，其中1...i...j...n为自然排列，

中的t为逆序数

然后交换

，得到

我们来计算奇偶性的变化

首先，我们知道只是交换来两个元素的位置，该项的值是不会发生变化的。

行标从 1...i...j...n 变为了 1...j...i...n，可以得出排列1...j...i...n的逆序数为是奇数，设为r

因为1...i...j...n逆序数为0，偶排列 根据排列任意元素对换，奇偶性改变， 1...j...i...n就变成了齐排列，那么其逆序数一定就是奇数

同样，设

（列标）的逆序数为

,得到

前面的正负符号为

因为

的逆序数为t

前面的系数为

​ 对换一次变为

奇偶性发生变化 其实就是乘以（-1） （排列中，任意两个元素发生对换，奇偶性发生变化，其实就是乘以（-1）） 所以

又因为r为奇数，有

综合下面两个式子：

\[\begin{cases} (-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\\ （-1）^r=-1 \end{cases} \]

得到：

\[(-1)^{r+t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1) * (-1)^{t_1}=(-1)*(-(-1)^t)=(-1)^t \]

推出：

\[(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}=(-1)^{r+t1}a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n} \]

说明

对换行列式中某一项两个元素的位置，使得行坐标、列坐标同时发生变化，但是却并不会改变该项的奇偶性。

一次交换不会改变奇偶性，那么多次交换也不会改变奇偶性

经历若干次对换 列标排列

一定可以变为自然排列（1 2 3... n）

设若干次变换后 列标排列变为了自然排列 行标排列设为

，则有

\[(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn} \]

对于其中任意一项

，有

\[\begin{cases} a_{ij}=a_{ip_i}\\ a_{ij}=a_{q_jj} \end{cases} \]

得到

\[\begin{cases} j=p_i\\ i=q_j \end{cases} \]

说明由

可以确定唯一对应的一个

，比如

说明

且唯一！

那么由

可以确定唯一的

定理2

内容

n阶行列式也可以定义为：

证明

​

首先，n阶行列式有：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]

令

\[\begin{cases} D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\\ D_1=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \end{cases} \]

从定理1最后的讨论中可以得到：

D中任意一项

有且只有一项D1中的某一项

与之对应（q是可以有p确定的）； 同理，D1中任意一项

也有且只有D中的某一项

与之对应 说明，D与D1中的任意一项都可以一一对应

可以得到

所以

\[\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \]

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

如果您觉得写得可以的话，请点个赞吧

您的鼓励是海轰更新文章的动力源泉

谢谢支持 ❤️