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考研竞赛每日一练 day 20 利用泰勒展开和极限保号性证明一道极值问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 07:43:11

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利用泰勒展开和极限保号性证明一道极值问题

设函数

f (x)

$f(x)$

是满足初值问题

$\begin{cases}f''(x)+[f'(x)]^2=x^2\\f(0=a,f'(0)=0\end{cases}$

的特解，试证明

$x=0$

是

$y=f(x)$

的极小值点。

【分析】：根据

$f(0)=a$

，

$f'(0)=0$

，对原式条件变形有

$f''(x)+[f'(x))]^2=x^2\Rightarrow f''(x)=x^2-[f'(x)]^2\Rightarrow f''(0)=0$

$f'''(x)=2x-2f'(x)\cdot f''(x)\Rightarrow f'''(0)=0$

$f^{(4)}(x)=2-2[f''(x)]^2-2f'(x)\cdot f'''(x)\Rightarrow f^{4}(0)=2$

由此类推，

$f^{(k)}(x)(k=1,2,3\dotsb,5)$

在点

$x=0$

是连续的，将函数

$y=f(x)$

在

$x=0$

进行泰勒展开得

$\begin{align*}f(x)&=f(0)+xf'(0)+\dfrac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\dfrac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+\dfrac{x^4}{4!}f^{(4))}(0)+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)\\&=a+\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)(0 < \theta < 1)\end{align*}$

对上式移项，再进行求极限，有

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x^4}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{5!}\lim\limits_{x\rightarrow 0}xf^{(5)}(\theta x)=\dfrac{1}{12}$

由极限的保号性知，当

$x\in (-\delta,0)$

和

$x\in (0,\delta)$

内，

$f(x)-f(0) > 0$

，即

$x=0$

是

$y=f(x)$

的极小值点。

本题关键想到利用已知等式关系推出函数在

$x=0$

的导数值，以及导数在局部具有连续性，同时后面想到利用泰勒展开构造函数与

$f(0)$

的关系，利用极限保号性，间接证明函数的极小值点。

作者：小熊

写作日期：2021-10-27

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原始发表：2021-10-27，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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