考官如何用算法调度考生的座位？
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最近不是四六级考试么，我们就来聊聊 LeetCode 第 885 题，让你当考官安排座位，有趣且具有一定技巧性。这种题目并不像动态规划这类算法拼智商，而是看你对常用数据结构的理解和写代码的水平，个人认为值得重视和学习。
另外说句题外话，很多读者都问，算法框架是如何总结出来的，其实框架反而是慢慢从细节里抠出来的。希望大家看了我们的文章之后，最好能抽时间把相关的问题亲自做一做，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行嘛。
先来描述一下题目：假设有一个考场，考场有一排共N个座位，索引分别是[0..N-1]，考生会陆续进入考场考试，并且可能在任何时候离开考场。
你作为考官，要安排考生们的座位，满足：每当一个学生进入时，你需要最大化他和最近其他人的距离；如果有多个这样的座位，安排到他到索引最小的那个座位，这很符合实际情况对吧。
也就是请你实现下面这样一个类：
class ExamRoom {
// 构造函数，传入座位总数 N
public ExamRoom(int N);
// 来了一名考生，返回你给他分配的座位
public int seat();
// 坐在 p 位置的考生离开了
// 可以认为 p 位置一定坐有考生
public void leave(int p);
}
比方说下面这个调用顺序，考场有 10 个座位，分别是[0..9]：
第一名考生进入时，坐在任何位置都行，但是要给他安排索引最小的位置，也就是返回位置 0。
第二名学生进入时，要和旁边的人距离最远，也就是返回位置 9。
第三名学生进入时，要和旁边的人距离最远，应该做到中间，也就是座位 4。
又进一名学生，他可以坐在座位 2 或者 6 或者 7，取最小的索引 2。
座位 4 上的学生离开了。
又进来一名学生，坐在 5 号位置距离相邻的人最远。
以此类推，读者肯定能够发现规律：
如果将每两个相邻的考生看做线段的两端点，新安排考生就是找最长的线段，然后让该考生在中间把这个线段「二分」，中点就是给他分配的座位。leave(p)其实就是去除端点p，使得相邻两个线段合并为一个。
核心思路很简单对吧，所以这个问题实际上实在考察你对数据结构的理解。对于上述这个逻辑，你用什么数据结构来实现呢？
一、思路分析
根据上述思路，首先需要把坐在教室的学生抽象成线段，我们可以简单的用一个大小为 2 的数组表示。
另外，思路需要我们找到「最长」的线段，还需要去除线段，增加线段。
但凡遇到在动态过程中取最值的要求，肯定要使用有序数据结构，我们常用的数据结构就是二叉堆和平衡二叉搜索树了。二叉堆实现的优先级队列取最值的时间复杂度是 O(logN)，但是只能删除最大值。平衡二叉树也可以取最值，也可以修改、删除任意一个值，而且时间复杂度都是 O(logN)。
综上，二叉堆不能满足leave操作，应该使用平衡二叉树。所以这里我们会用到 Java 的一种数据结构TreeSet，这是一种有序数据结构，底层由红黑树维护有序性。
这里顺便提一下，一说到集合（Set）或者映射（Map），有的读者可能就想当然的认为是哈希集合（HashSet）或者哈希表（HashMap），这样理解是有点问题的。
因为哈希集合/映射底层是由哈希函数和数组实现的，特性是遍历无固定顺序，但是操作效率高，时间复杂度为 O(1)。
而集合/映射还可以依赖其他底层数据结构，常见的就是红黑树（一种平衡二叉搜索树），特性是自动维护其中元素的顺序，操作效率是 O(logN)。这种一般称为「有序集合/映射」。
我们使用的TreeSet就是一个有序集合，目的就是为了保持线段长度的有序性，快速查找最大线段，快速删除和插入。
二、简化问题
首先，如果有多个可选座位，需要选择索引最小的座位对吧？我们先简化一下问题，暂时不管这个要求，实现上述思路。
这个问题还用到一个常用的编程技巧，就是使用一个「虚拟线段」让算法正确启动，这就和链表相关的算法需要「虚拟头结点」一个道理。
// 将端点 p 映射到以 p 为左端点的线段
private Map<Integer, int[]> startMap;
// 将端点 p 映射到以 p 为右端点的线段
private Map<Integer, int[]> endMap;
// 根据线段长度从小到大存放所有线段
private TreeSet<int[]> pq;
private int N;
public ExamRoom(int N) {
this.N = N;
startMap = new HashMap<>();
endMap = new HashMap<>();
pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
// 算出两个线段的长度
int distA = distance(a);
int distB = distance(b);
// 长度更长的更大，排后面
return distA - distB;
});
// 在有序集合中先放一个虚拟线段
addInterval(new int[] {-1, N});
}
/* 去除一个线段 */
private void removeInterval(int[] intv) {
pq.remove(intv);
startMap.remove(intv[0]);
endMap.remove(intv[1]);
}
/* 增加一个线段 */
private void addInterval(int[] intv) {
pq.add(intv);
startMap.put(intv[0], intv);
endMap.put(intv[1], intv);
}
/* 计算一个线段的长度 */
private int distance(int[] intv) {
return intv[1] - intv[0] - 1;
}
「虚拟线段」其实就是为了将所有座位表示为一个线段：
有了上述铺垫，主要 APIseat和leave就可以写了：
public int seat() {
// 从有序集合拿出最长的线段
int[] longest = pq.last();
int x = longest[0];
int y = longest[1];
int seat;
if (x == -1) { // 情况一
seat = 0;
} else if (y == N) { // 情况二
seat = N - 1;
} else { // 情况三
seat = (y - x) / 2 + x;
}
// 将最长的线段分成两段
int[] left = new int[] {x, seat};
int[] right = new int[] {seat, y};
removeInterval(longest);
addInterval(left);
addInterval(right);
return seat;
}
public void leave(int p) {
// 将 p 左右的线段找出来
int[] right = startMap.get(p);
int[] left = endMap.get(p);
// 合并两个线段成为一个线段
int[] merged = new int[] {left[0], right[1]};
removeInterval(left);
removeInterval(right);
addInterval(merged);
}
三种情况
至此，算法就基本实现了，代码虽多，但思路很简单：找最长的线段，从中间分隔成两段，中点就是seat()的返回值；找p的左右线段，合并成一个线段，这就是leave(p)的逻辑。
三、进阶问题
但是，题目要求多个选择时选择索引最小的那个座位，我们刚才忽略了这个问题。比如下面这种情况会出错：
现在有序集合里有线段[0,4]和[4,9]，那么最长线段longest就是后者，按照seat的逻辑，就会分割[4,9]，也就是返回座位 6。但正确答案应该是座位 2，因为 2 和 6 都满足最大化相邻考生距离的条件，二者应该取较小的。
遇到题目的这种要求，解决方式就是修改有序数据结构的排序方式。具体到这个问题，就是修改TreeMap的比较函数逻辑：
pq = new TreeSet<>((a, b) -> {
int distA = distance(a);
int distB = distance(b);
// 如果长度相同，就比较索引
if (distA == distB)
return b[0] - a[0];
return distA - distB;
});
除此之外，还要改变distance函数，不能简单地让它计算一个线段两个端点间的长度，而是让它计算该线段中点到端点的长度。
private int distance(int[] intv) {
int x = intv[0];
int y = intv[1];
if (x == -1) return y;
if (y == N) return N - 1 - x;
// 中点到端点的长度
return (y - x) / 2;
}
这样，[0,4]和[4,9]的distance值就相等了，算法会比较二者的索引，取较小的线段进行分割。到这里，这道算法题目算是完全解决了。
四、最后总结
本文聊的这个问题其实并不算难，虽然看起来代码很多。核心问题就是考察有序数据结构的理解和使用，来梳理一下。
处理动态问题一般都会用到有序数据结构，比如平衡二叉搜索树和二叉堆，二者的时间复杂度差不多，但前者支持的操作更多。
既然平衡二叉搜索树这么好用，还用二叉堆干嘛呢？因为二叉堆底层就是数组，实现简单啊，详见旧文 图文详解二叉堆，实现优先级队列。你实现个红黑树试试？操作复杂，而且消耗的空间相对来说会多一些。具体问题，还是要选择恰当的数据结构来解决。
希望本文对大家有帮助。
腾讯云开发者
