非完整约束机器人

完整约束与非完整约束

非完整约束机器人主要只是机器人系统动力学满足非完整约束的特点。例如空间机器人，移动机器人等。对于任何的机电系统，如果系统中存在任何的非完整约束，则该机电一体化系统/机器人即为非完整系统。物理系统可以分类为完整系统与非完整系统。许多理论或方程成立的条件之一，就是系统里所有的约束都必须是完整约束。例如，假若一个物理系统是完整系统与单演系统，则拉格朗日方程成立的必需与足够的条件是哈密顿原理。

与完整约束不同的是，非完整约束是有其特殊定义的。对于完整约束系统，系统可以由以下方程式表示：

f(x_1,x_2,......,x_n,t)=0

非完整系统则无法用上式唯一表示。完整约束方程式与位置、时间有关，与速度无关。非完整系统主要表现特征是存在不可积分的微分约束。非完整系统至少存在于三个状况：物体在做滚动运动；系统的约束包括不等式；系统的约束与速度有关（例如普法夫约束）。也就是说，如果一个系统表示如下形式：

f(x_1,x_2,......,x_n,\dot x_1,\dot x_2,......,\dot x_m，t)=0

如果方程中，\dot x_1,\dot x_2,......,\dot x_m 不可积分，则系统为非完整。

一个和我们生活中非常相关的一个例子即是“falling cat problem”， 落猫问题在任意初始姿势的条件下，在着地时都是以脚朝下着地，而且过程不会违反角动量守恒定律。落猫问题其本质解释比较复杂，但是其是非完整约束的一个典型应用。

落猫问题

另一个是移动机器人，移动小车车轮和地面处于滚动状态，系统存在非完整约束

移动小车

自由漂浮空间机器人，系统角动量守恒，且角动量守恒方程无法积分得到位置级别方程，因而系统存在非完整约束。

自由漂浮机器人

总之，如果机器人约束方程中包含坐标对时间的导数(如运动约束)，而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。反之，如果机器人约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约束称为完整约束。

对于非完整约束机器人系统，非完整约束是对系统广义坐标导数的约束，且一般为速度级别约束，即微分约束。非完整约束并不减少系统位形自由度。这使得系统的独立控制个数少于系统的位形自由度, 给其控制设计带来很大困难。另外，利用非线性控制系统理论的微分几何方法已证明: 非完整系统不能用连续的状态反馈镇定。因此以研究连续状态反馈为主的现代控制理论中大量成熟的结果无法直接用于非完整系统的镇定控制研究, 使得非完整控制系统研究成为当今控制领域最具挑战性的难题之一。