【回溯算法】借助最后一道「组合总和」问题来总结一下回溯算法 ...

宫水三叶的刷题日记

发布于 2021-03-12 10:39:23

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题目描述

这是 LeetCode 上的「216. 组合总和 III」，难度为 Medium。

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

所有数字都是正整数。
解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]

示例 2:

输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

DFS + 回溯解法

关于「组合总和」的问题，之前我们已经完成过 39. 组合总和和 40. 组合总和 II 两道题了。

只不过前面两道题是直接给了我们一个数组，让我们从数组中进行选择。

本题则是直接限定了数字范围在 1-9 之间。

三道题都是可以使用相同的思路进行求解。

我们再来强化一下应该如何快速判断一道题是否应该使用 DFS + 回溯算法来爆搜。

总的来说，你可以从两个方面来考虑：

1. 求的是所有的方案，而不是方案数。 由于求的是所有方案，不可能有什么特别的优化，我们只能进行枚举。这时候可能的解法有动态规划、记忆化搜索、DFS + 回溯算法。
2. 通常数据范围不会太大，只有几十。 如果是动态规划或是记忆化搜索的题的话，由于它们的特点在于低重复/不重复枚举，所以一般数据范围可以出到

10^5

到

10^7

，而 DFS + 回溯的话，通常会限制在 30 以内。

这道题数据范围是 30 以内，而且是求所有方案。因此我们使用 DFS + 回溯来求解：

class Solution {
    int n, k;
    public List<List<Integer>> combinationSum3(int _k, int _n) {
        n = _n;
        k = _k;

        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
        List<Integer> cur = new ArrayList<>();
        dfs(1, ans, cur, 0);
        return ans;
    }
    /**
     * u: 当前遍历到的数字
     * ans: 最终结果集
     * cur: 当前结果集
     * sum: 当前结果集的总和
     */
    void dfs(int u, List<List<Integer>> ans, List<Integer> cur, int sum) {
        if (sum == n && cur.size() == k) {
            ans.add(new ArrayList<>(cur));
            return;
        }
        if (u == 10 || sum > n || cur.size() > k) return;
        // 使用数字 u
        cur.add(u);
        dfs(u + 1, ans, cur, sum + u);
        // 进行回溯
        cur.remove(cur.size() - 1);
        // 不使用数字 u
        dfs(u + 1, ans, cur, sum);
    }
}

时间复杂度：DFS 回溯算法通常是指数级别的复杂度（因此数据范围通常为 30 以内）。这里暂定

O(n * 2^n)

空间复杂度：同上。复杂度为

O(n * 2^n)

总结

一连三天，我们做了三道关于「组合总和」的题目。

但其实并无本质区别，都是在考察「回溯算法」的基本使用。

对于此类要枚举所有方案的题目，我们都应该先想到「回溯算法」。

「回溯算法」从算法定义上来说，不一定要用 DFS 实现，但通常结合 DFS 来做，难度是最低的。

「回溯算法」根据当前决策有多少种选择，对应了两套模板。

每一次独立的决策只对应 选择和不选 两种情况：

确定结束回溯过程的 base case
遍历每个位置，对每个位置进行决策（做选择 -> 递归 -> 撤销选择）

void dfs(当前位置, 路径(当前结果), 结果集) {
    if (当前位置 == 结束位置) {
        结果集.add(路径);
        return;
    }
        
    选择当前位置;    
    dfs(下一位置, 路径(当前结果), 结果集);
    撤销选择当前位置;
    dfs(下一位置, 路径(当前结果), 结果集);
}

对应到这类模板的题目有：40. 组合总和 II ...

每一次独立的决策都对应了多种选择（通常对应了每次决策能选择什么，或者每次决策能选择多少个 ...）:

确定结束回溯过程的 base case
遍历所有的「选择」
对选择进行决策 (做选择 -> 递归 -> 撤销选择)

void dfs(选择列表, 路径(当前结果), 结果集) {
    if (满足结束条件) {
        结果集.add(路径);
        return;
    }
        
    for (选择 in 选择列表) {
        做选择;
        dfs(路径’, 选择列表, 结果集);
        撤销选择;
    }
}

对应到这类模板的题目有：17. 电话号码的数字组合、39. 组合总和 ...