线性代数的计算与物理意义

⏳本文状态：持续更新中… ?

一、行列式

¶1.1 行列式概念

二阶行列式的出现：求解二元一次方程组（因此可以很容易理解同解变形）

¶1.2 行列式性质

同解变形（初等行变换）：

• 将两个方程组的位置互换
• 某方程乘一个非0的常数
• 讲一个方程的k倍加到另一个方程

¶1.3 展开公式*

¶1.4 克拉默法则（行列式应用：解线性方程组）

$$ \begin{cases} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1\\ &&&&\vdots\\ a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+a_{nn}x_n&=&b_n& \end{cases} $$

如果系数行列式D=\vert A \vert\neq0 ,则方程组有唯一解。且x_1 = \frac{D_1}{D}, …x_n = \frac{D_n}{D}。其中D_i就是将常数项取代第i列后的系数行列式。

推论1： 若齐次方程组（常数项都为0）的系数行列式不为0，则方程组有唯一零解。

推论2： 若齐次方程组有非零解，则系数行列式为0.

二、矩阵

¶2.1 概念、运算

矩阵是一个表格

运算：加减法、数乘、矩阵乘法、转置

• 单位矩阵E（对角线为1）相当于算术运算中的1
• \alpha\alphaT为对称矩阵，\alphaT\alpha为平方和，\alphaT\alpha为\alpha\alphaT的迹(对角线之和)，(\alpha\betaT)T=\beta\alpha^T。
• 向量相乘得到的矩阵秩为1。
• \vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert

¶2.2 伴随矩阵、可逆矩阵

¶2.3 初等变换、初等矩阵

¶2.4 分块矩阵

¶2.5 方阵的行列式

矩阵的秩

三、向量（难点）

¶方程组的解

相关，无关，秩

怎么理解矩阵的秩

秩为1的矩阵的特征值：一个是它的迹，另外两个为0。

¶向量空间：

平面–三元一次方程

曲面–二次型

考过的题：

过渡矩阵、空间维数、基

r(A)=r(\bar{A})=2三个平面可能是哪一图形

给曲面图形，求正的特征值

给曲面方程，求参数

给二次型，说曲面名称

四、方程组（重点）

五、特征值（重点）

六、二次型（重点）

二次型和特征值的关系