在数值分析复习(一)线性插值、抛物线插值中我们讨论过线性插值与二次插值,其实都是接下来要讲的拉格朗日插值的特殊情况,接下来我们一一分析:
定义插值基函数:
若n次多项式
在n+1个节点
上满足条件:
就称这n+1个n次多项式
为节点
上的n次插值基函数。
引入记号:
拉格朗日插值多项式可变换为:
当n=1时,
,为线性插值
当n=2时,
,展开后可得抛物线插值
注:n次插值多项式
通常是次数为n的多项式,特殊情况下次数可能小于n,如当二次插值多项式插值的三点共线时
将退化为一次多项式
设
为插值多项式的截断误差,也称余项
有如下定理:
通过余项表达式我们可以知道,若插值函数
(
代表次数小于等于n的多项式集合),由于
,故
,即它的插值多项式为其本身。