数值分析复习（二）拉格朗日插值法、插值余项与误差估计

拉格朗日插值法

在数值分析复习（一）线性插值、抛物线插值中我们讨论过线性插值与二次插值,其实都是接下来要讲的拉格朗日插值的特殊情况，接下来我们一一分析：

定义插值基函数：

若n次多项式

在n+1个节点

上满足条件：

就称这n+1个n次多项式

为节点

上的n次插值基函数。

引入记号：

拉格朗日插值多项式可变换为：

当n=1时，

,为线性插值

当n=2时，

,展开后可得抛物线插值

注：n次插值多项式

通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n，如当二次插值多项式插值的三点共线时

将退化为一次多项式

插值余项与误差估计

设

为插值多项式的截断误差，也称余项

有如下定理：

通过余项表达式我们可以知道，若插值函数

（

代表次数小于等于n的多项式集合），由于

，故

，即它的插值多项式为其本身。