线性空间是定义在数域 F 上满足某些运算规律的向量集合,而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域,再讲线性空间
什么是数域?数域是一种数集,元素的和、差、积、商仍在数集中(具有封闭性),称为数域。如有理数域\mathbb{Q},复数域\mathbb{C},实数域\mathbb{R}
线性空间的定义:
设V是以\alpha, \beta, \gamma,...为元素的非空集合,F是一个数域,定义两种运算:加法\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V;数乘\forall k \in F, \alpha \in V, k \alpha \in V。满足8条:加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律,零元存在,1(幺)元存在,负元存在。则称V为数域F上的线性空间。
注:\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in F
简单点说,上述8条,只要有任意一条不满足,则V就不是数域F上的线性空间(线性空间中的元素叫向量)
V=\{0\},F是数域,判断V是否为数域F上的线性空间
解:判断是否线性空间,只需要证明集合V在数域F上是否满足上述8条。这里明显满足条件,因此V是数域F上的线性空间
R^+表示所有正实数集合,在R^+中定义加法\oplus与数量乘法\odot分别为
$$ \begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align} $$
判断R^+是否构成实数域\mathbb{R}上的线性空间
解:通过证明交换律,结合律,零元素,负元素,数乘结合律,两个分配律。因此R^+是实数域\mathbb{R}上的线性空间
设V是由系数在实数域\mathbb{R}上,次数为n的n次多项式f(x)构成的集合,其加法运算与数乘运算按照通常规定,举例说明V不是\mathbb{R}上的线性空间
解:V是由次数为n的n次多项式f(x)构成的集合,显然加法不封闭。例如x\in V,则x+(-x)=0,0的次数不再是n,次数下降,不再属于V了。同理,数乘也不封闭。例如x\in V,则x·0=0,次数同样下降,不属于V。因此V不是\mathbb{R}上的线性空间
证:设0_1,0_2是两个零元,则0_1=0_1+0_2=0_2
证:设\alpha的负元为\beta_1,\beta_2,则\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_2
\forall \alpha\in V, 0·\alpha=0,其中,第一个0是数,第二个0是向量
\forall k\in F, k·0=0,其中的两个0是相同的,都是向量
若k\alpha=0,则k=0或\alpha=0
若\alpha+\beta=\alpha+\gamma,则\beta=\gamma
以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解
数乘中的数,最好放在向量的右边
$$ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$
数字2,可以看作是1×1的矩阵,而列向量是3×1的。将数放向量的右边,就满足了矩阵乘法的要求(第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数)