[数据结构与算法] 图结构

时间静止不是简史

发布于 2020-07-24 16:48:58

7230

发布于 2020-07-24 16:48:58

文章被收录于专栏：Java探索之路

图
介绍
图的遍历
深度优先遍历
广度优先遍历

介绍

在之前的学习中, 我们学了线性结构（数组, 链表,栈和队列）和非线性结构中的树结构. 下面就让我们学习非线性结构中的图结构吧

图出现的原因

线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图

图的举例

图是一种非线性的数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。 如下图：

常用概念

顶点(vertex): 图中的节点
边(edge): 图中相邻节点的连接
路径: 图中任意两个节点间连接的组合
无向图: 顶点间连接无方向
有向图顶点间连接无方向
带权图顶点间连接有方向

无向图

有向图

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1…n个点。

数组中值的含义 0: 不连通 1: 连通 例如第一行第一列的元素值为0, 说明0和0之间是不连通的

邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

入门案例——要求: 代码实现如下图结构.

思路分析 (1) 存储顶点String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges (表示两个顶点是否连接) (3) 保存边的个数 numOfEdgs

代码实现

public class Graph {
    private ArrayList<String> vertexList;//存储节点的集合
    private int[][] edgs;//存储图对应的邻结矩阵(用来标识两个顶点是否连接)
    private int numOfEdgs;//边的个数

    public Graph(int n) {//构造实例化对象时,对相关参数进行初始化
        this.vertexList = new ArrayList<String>(n);
        this.edgs = new int[n][n];
        this.numOfEdgs = 0;
    }

    /**
     * 插入节点
     * @param vertex
     */
    public void insertVertex(String vertex){
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边
     * @param v1 表示第1个顶点的下标, 例如: "A"-"B", A的下标为0,B为1,C为2...
     * @param v2 表示第2个顶点的下标
     * @param weight 表示矩阵的值.0/1. 0:顶点间不连接,1: 顶点之间连接
     */
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
        edgs[v1][v2] = weight;
        edgs[v2][v1] = weight;
        numOfEdgs++;
    }

    //图中常用方法
    //返回节点的个数
    public int getNumOfVertex(){
        return vertexList.size();
    }

    //返回边的个数
    public int getNumOfEdges(){
        return numOfEdgs;
    }

    //返回下标为i对应顶点的数据, 0->"A",1->"B",2->"C"
    public String getValueByIndex(int i){
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1,v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2){
        return edgs[v1][v2];
    }

    //显示图对应的矩阵(输出二维数组)
    public void showGraph(){
        for (int[] edge: edgs){
            System.out.println(Arrays.toString(edge));
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        //开始测试
        int n = 5;//节点的个数
        String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};//存储顶点的集合
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);

        //循环添加节点(将顶点集合中的数据添加到图对象中)
        for (String v:vertex){
            graph.insertVertex(v);
        }
        //添加边
        //需要连接的有 A-B, A-C, B-C, B-D, B-E
        graph.insertEdge(0,1,1);//A-B
        graph.insertEdge(0,2,1);//A-C
        graph.insertEdge(1,2,1);//B-C
        graph.insertEdge(1,3,1);//B-D
        graph.insertEdge(1,4,1);//B-E
        //显示这个邻接矩阵
        graph.showGraph();
    }
}

结果展示

图的遍历

所谓图的遍历，即是对结点的访问。 一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

深度优先遍历

基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。又称深度优先遍历，DFS. 指的是从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
查找结点v的第一个邻接结点w。
若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析: 对下面图中元素做深度优先遍历

代码实现

 /**
     * 得到第index个邻接点的下标
     * @param index 标识第n个邻接点
     * @return 如果存在则返回其下标,否在返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index){
        for (int j=0;j<vertexList.size();j++){
            if (edgs[index][j]==1){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }
    /**
     * 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
     * @param v1  邻接矩阵中两个顶点的下标
     * @param v2
     * @return     如果存在返回对应的下标,否则返回-1
     */
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++){
            if (edgs[v1][j]==1){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    /**
     * 深度优先遍历算法
     * @param isVisited  表示当前节点是否被遍历过
     * @param i   i 第一次就是 0
     */
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while(w != -1) {//说明有
            if(!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }

    }
    //对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

运行结果 注意: 深度优先和共度优先遍历,较难理解,最好结合debug断点调试一起理解

广度优先遍历

基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) , 又称bfs. 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

访问初始结点v并标记结点v为已访问。
结点v入队列
当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
出队列，取得队头结点u。
查找结点u的第一个邻接结点w。
若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤： 1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。 .2 结点w入队列 3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6继续执行循环。

实现代码

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u ; // 表示队列的头结点对应下标
        int w ; // 邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while( !queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while(w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if(!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
            }
        }

    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

运行结果

代码模拟

public static void main(String[] args) {
        //开始测试
        //int n = 5;//节点的个数
        //String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};//存储顶点的集合
        int n = 8;//节点的个数
        String[] vertex = {"1", "2", "3", "4", "5","6","7","8"};//存储顶点的集合
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);

        //循环添加节点(将顶点集合中的数据添加到图对象中)
        for (String v:vertex){
            graph.insertVertex(v);
        }
        //添加边
        //需要连接的有 A-B, A-C, B-C, B-D, B-E

        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);
        //显示这个邻接矩阵
        graph.showGraph();

        //测试深度优先遍历
        System.out.println("执行深度优先遍历");
        graph.dfs();
        //测试广度优先遍历
        System.out.println();
        System.out.println("执行广度优先遍历");
        graph.bfs();
    }

结果验证

深度优先与广度优先比较

由上图可知

图的深度优先遍历, 先找到一个节点, 然后以这个点为出发点去寻找下一层的点
图的广度优先遍历, 先找到一个节点, 然后以该点为基础访问该层节点.(一层一层的访问)

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2020/03/16 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

编程算法

本文分享自作者个人站点/博客前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

编程算法

登录后参与评论

0 条评论

热度