“前一篇文章我们讲解了傅立叶变换的理论公式,而实际工程应用中采集到的信号都是离散的数据,采用的是离散傅立叶变换。让我们继续解析一下其推导过程及相关概念”
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离散傅立叶变换:公式及目的
以下是傅立叶变换和离散傅立叶变换的公式。
因为工程应用都是采集到离散的数据,而且没有负的时间,所以傅立叶变换的应用多是以下公式,并且都是基于以下第二个公式进行离散计算。
该公式的目的是:将离散的时域信号中包含的各正/余弦信号的幅值和初始相位计算出来。
即要计算上面一系列余弦信号的幅值a和初始相位fai。
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离散傅立叶变换:算例
在深入解析离散傅立叶变换前,我们先拿8个数据的傅立叶变换结果来说明几个重要的参数:采样频率Fs, 采样点数N。
下图第一幅图是时域信号。
采样频率Fs=16Hz, 表示:1秒内采集16个数据点。
采样点数N=8, 表示:整段数据有8个数据点。
下面是一道小学栽树计算题:
下图第二幅图是对时域信号的傅立叶变换。
采样频率Fs=16Hz, 表示:最高分析频率接近Fs。
采样点数N=8, 表示:整段数据有8个数据点。
同样的小学栽树计算题:
有一个原则:时域上有N个点,离散傅立叶变换后频域上仍是N个点。
需要注意的是:工程应用中N的值一般是2的指数倍,且较大,所以栽树效应不是这么明显,即N和N-1没有这么严格区分,即 T=N/Fs, Fmax=Fs。
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神奇的萃取剂:正/余弦信号
01章节提到傅立叶变换的公式在工程应用中,积分区间是0到T, 然后再除以T。该计算对应下表中的结果:
从表中可以看出积分区间在(0, T)的计算是积分区间在(-T, T)区间的一半。
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离散傅立叶变换:公式推导
下面内容是:傅立叶变换应用公式 —> 离散傅立叶变换应用公式 的推导:
推导前有2点(结合02章节)需要注意:
那么下面就直接上公式:
公式推导完毕,读者可以仅记住公式推导的结论即可。
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离散傅立叶变换:总结
根据以下公式及以下算例:
对离散傅立叶变换应用后有如下总结:
1. 数据的序列属于程序员思维:第0个数,第1个数,。。。第N-1个数;且N多为2的指数倍。
2. 第0个数:各点之和除以N,即均值,或称直流分量。
2. 第N/2个数:偶数点之和-奇数点之和,除以N(第0个点称为偶数)。
3. 其他点:以中心频率Fs/2为对称,成复数共轭。
我们的最终目的是得到时域信号x(t)中的余弦信号的幅值a和初始相位fai。如果全文没有把这件事情讲清楚的话,只需要记住以下几点和步骤:
1. 离散信号傅立叶变换,因为大多数软件算法基本上是采用理论公式,故变换后的结果要除以N。
2. 除以N后,第0个数是直流分量,即x(t)均值。
3. 除以N后,各频率下得到的是复数,从第1个数到第N/2-1个数(不包括第0个数)需要乘以2,然后求模和相位角才能得到各频率下的幅值和相位。
4. 第N/2个数到第N-1个数可以不用理会(根据采样定理,分析频率要小于采样频率Fs的一半)。
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离散傅立叶变换后各点特点:延伸部分
本章主要解释一下:变换后为什么除第0个点和第N/2个点外,各点会以中心频率对称互为共轭。正是这种对称共轭,也为快速傅立叶变换提供了很好的数学算法,这里就不再赘述。
以上公式中,第0个点和第N/2个点属于特例:
其他的点类似于下图中的:第1个点和第7个点共轭,第2个点和第6个点共轭,第3个点和第5个点共轭。
但是第0个点(1)和第4个点(-1)不共轭。
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文末总结
本篇和上一篇都详细讲解了傅立叶变换的公式推导,应用及思考过程。这是一个艰难的入门,很难解释清楚又不能跳过。只有理解了这些基本概念和应用才能对后续的内容有深刻的体会。
后面的文章将会以实际应用及案例为主,不会出现这么多的公式,可读性会稍好一点。文中所有的图片均基于python编程(作者更习惯用Matlab,python也是刚刚学习),一般是先编程把所有数据及图表输出,然后再编辑成文。所以文章更新速度会略慢,见谅。