“傅立叶变换是信号分析的基础。看到公式的瞬间,就有想要放弃的感觉~ 让我们从目的出发,逐步展现它的逻辑之美”
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傅立叶变换:公式
以下是傅立叶变换的公式,将时间域的函数x(t)转变成频率域的函数X(f),是不是很烧(想)脑(死)?
该公式的目的是:将时域信号中包含的各正/余弦信号的幅值和初始相位计算出来。请记住这个目的,然后忘记这个公式。下面我们将逐步去解析这个公式的由来。
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傅立叶变换:目的
一个时域信号,可以写成若干个余弦信号的叠加,我们的目的是:想要知道这一系列余弦信号的幅值a和初始相位fai。
怎样才能做到如此精细的提取呢?
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神奇的萃取剂:正/余弦信号
如果把这个时域信号x(t)乘以一个给定频率的余弦函数(该余弦函数频率恰好和组成x(t)的某个频率一致),神奇的事情发生了:
只有黄色区域是常数,其余都是余弦项。这太棒了,我们已经初步从x(t)中萃取出频率是f1的幅值和初始相位了。
但这还不够,渣子毕竟还是要筛除干净。我们知道对正/余弦函数进行长周期的积分并除以周期后,得到的结果将趋近于0;而同样的操作对于常数项来说,结果仍是常数:
至此,更精细的萃取已经完成。
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萃取剂组合拳:余弦萃取 & 正弦萃取
刚才用的是余弦函数,如果用正弦函数会怎样呢(正弦函数的计算同上,就不再赘述)?下面直接给出结果对比:
大家会发现单纯的用余弦或正弦萃取,其各自的结果是幅值和初始相位混在了一起。所以需要用组合拳,用有技巧的组合拳。也就是上表最后一列。
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接近真相:欧拉公式
欧拉公式,世界十大最美公式排名第2(傅立叶变换公式排名第9):
是不是和上表最后一列最后一行很像?Yes, it is! (注意下面的公式中没有除以总时间T, 一般在应用中需要除以总时间T或在离散应用中除以总数N).
该公式是对用正余弦组合拳萃取工作的高度概括和归纳,又结合了美丽的欧拉公式,堪称完美。至此,傅立叶变换公式的解析结束。
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总结:凡人,数学家与庸师
之前堆叠了很多的公式,想必能读到这儿的读者已经击败了全国80%的对手。总结一下,怎样提取x(t)中包含的一列余弦信号的幅值和初始相位?
凡人:
1)将x(t)乘以频率是5Hz的余弦信号,然后各点加和,然后除以总时长,得到数值m。
2)将x(t)乘以频率是5Hz的负正弦信号,然后各点加和,然后除以总时长,得到数值n。
3)将m和n平方和开根号,得到x(t)中频率是5Hz信号的幅值,将n除以m,即得到x(t)中频率是5Hz信号的tan(fai), 从而用反正切求出初始相位。
4)用1)2)3)中的方法计算一下x(t)中频率是6Hz的信号成分。接着是7Hz, 8Hz,9Hz (如果x(t)中没有9Hz的信号,计算的结果是0,所以不用担心所选的萃取剂不合拍,一个一个频率算下去就得了)。。。
。。。
n)用1)2)3)中的方法计算一下x(t)中频率是2000Hz(最高频率举例)的信号成分。
数学家:
看着凡人的操作,心中默念:愚蠢的人类,微微一笑,写下了如下的公式。
庸师:
上手就将上面的公式写在黑板或PPT上, 从此将学生划分隔离为:凡人和数学家……