Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列 (02)：数列、一元、多元函数极限的计算与连续性判定

极限的计算与函数连续性的讨论是高等数学、数学分析、微积分课程中讨论的重点，一直贯穿于整个课程学习过程。本文内容主要以实例的形式介绍用WolframAlpha计算数列、一元函数、多元函数的极限、判定极限的存在性和讨论函数的连续性. 其中一元函数包括左右极限的讨论和抽象符号函数极限的计算。

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1、求数列的极限

例1 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim ((2n^(1/n)-1)^n)/(n^2), n->infinity

执行后的结果为1. 也可以将lim换成limit. 其中无穷大infinity也可以用两个字母“oo”表示.

例2 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim n/((n!)^(1/n)), n->infinity

执行后的结果为e.

例3 计算以下数列的极限：

输入表达式为

lim sum(1/(k^(1/2)),k=n^2 to (n+1)^2),n->infinity

执行后的结果为2. 前面也可以加上lim或limit来执行计算.

例4 计算以下数列的极限：

输入表达式为

product 1-1/k^2,k=2 to n,n->Infinity

执行后的结果为1/2.

2、一元函数的极限和连续性

例1 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim (e^(-x))*(1+1/x)^(x^2), x->infinity

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->0-

得如下结果

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->-1+

计算得到结果如下.

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->1

显示极限存在，但是在图形中用小红空间圆圈标记为可去间断点. 如下图所示.

而输入

lim e^(1/(1-x)), x->1

则计算结果如下

标明极限不存在，但是有左极限为正无穷大，右极限为0.

例3 计算以下极限：

输入表达式为

lim (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2,h->0

3、多元函数的极限

例1 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim log(x+e^y)/((x^2+y^2)^(1/2)), (x,y)->(1,0)

执行后的结果为ln2.

例2 计算以下函数的极限：

输入表达式为

lim (x+y)/(x-y),(x,y)->(0,0)

lim (x+k x)/(x-k x),x->0

计算得到结果为