IEEE浮点数的设计缺陷

在生物化学中，“信息”是研究物质的2个基本视角之一，另外一个是“能量”。因为信息和能量都是抽象出来的东西，以它们为视角研究现实世界的成本非常低，比如计算机专业的学生做实验只需要一台电脑就可以了（搞深度学习的除外），不像其他理工科类，他们做一次实验得花好多钱准备设备和材料，实验做得少就会大大降低学习效率，这样比起来，我们计算机专业的从业者有明显的学习优势。

编码的2个基本原则

之前一篇关于信息论的文章《序列化的极限》里好像提过一次相关原则：

今天把这2个原则重新整理一下，原则一叫做“无歧义”，原则二叫做“无冗余”。

信息论要求编码值（序列化的二进制值）与实际含义一一对应，才能将信息压缩至最小，而打破一一对应关系的情况分为2种：

• 歧义：同一种编码有多个不同的含义
• 冗余：多种编码对应同一个含义

用一句话概括，编码值（0和1的bit流）和实际含义要一一对应，不多不少，才能达到最优编码。

令人尴尬的IEEE浮点数

最近帮公司开发了一套序列化格式，花了很多时间在“如何存储小数”这个问题上，好像当年比尔盖茨和乔布斯也在这个问题上纠结过很久。为什么存储小数这么难呢？因为小数和整数不同在于：整数关心的是数值的大小，小数关心的是“精度”，整数的编码体积和数值大小成比例，但小数的体积只和精度高低成比例。体积、大小、进度的下限都是0，上限无穷。

IEEE浮点数是如何存储小数的呢？

计算机的发展历史上，用二进制存储自然数本是最“自然”的选择，后来为了存储负数，就出现了原码、2补码、zigzag等编码，再后来为了存储浮点数，就出现了3个主流的IEEE标准：

• 半精度half：16bit
• 单精度single：32bit
• 双精度double：64bit
• ......

其实还有四精度、八精度等丧心病狂无止境的精度类型，以最简单的半精度（binary16）为例：

这里面有符号位（sign），指数位（exponent），有效位（fraction），解码公式很有趣：

(−1)sign × 2exponent−15 × 1.fraction2

我们来研究一下这个公式。

知道为什么后面有效位（significantbits）前面是“1.”开头而不是“0.”开头嘛？IEEE浮点数缺省补“１”是为了满足之前的原则“无冗余”：二进制小数部分至少有一个“1”，不可能全是0，否则就是整数了。既然这个第1个“1”是确定存在的，那我们编码的时候就可以省掉一个“１”，让解码器给我们加上就行了。这是一种节省空间，或者“偏移”的技巧：IEEE半精度浮点数显性存储10位有效位，但这10位是“面值”，它还要加上一个隐性的“1”才得到实际值。

精度占比较高的小数更常见，地位更高

IEEE浮点数还有一个明智的做法，在公式中，为什么“1.”要放在fraction之前而不是放在之后呢？如果放在之后就是fraction.1，然后指数位就不用-15了。但显然并没有这么做。科学计数法的习惯并不是解释IEEE浮点数放弃这种简单编码方式的理由，它背后真实的原因是千百年来人类对小数的使用习惯：精度占比较高的小数总是更常见。

举个例子，走直觉的话，12345.6和1.23456这2个小数哪个更“好”？我拍个脑袋，感觉后面那个更好，因为12345.6中整数部分远远大于小数部分，这就让我们开始质疑存储这个0.6的意义何在，直接近似存12346这样一个整数不就行了嘛？但1.23456中，精度部分的占比远大于整数部分，从统计意义上，存储1.23456更有意义，存储12345.6“意义不大”。

可以把这个结论作为一个公理，由此我们在实数范畴出现了4个“更常见”：

• 整数 > 非整数
• 绝对值小的数 > 绝对值大的数
• 正数 > 负数
• 精度占比高的数 > 精度占比低的小数

注：大于号比较的是“常见度”。

可是我最后还是放弃了用IEEE浮点数来编码我的小数，因为它有一个致命的缺点：不纯粹。不知出于什么目的，IEEE浮点数保留了NaN和±infinity这两个在现代编程语言中几乎毫无意义的常量，而NaN和编码不是一对一的，也就是说有一堆不同的binary16都表示NaN，这打破了信息论“无冗余”原则，打破这一原则还有它的±0。

这张表格是Wikipedia上的，主要揭露了半精度浮点数的特殊情况：强行“腾出”的NaN、±infinity、-0。

无奈，只得重新设计小数编码，需要明确的是，浮点数只是小数的编码之一，而IEEE浮点数又是常规浮点数的一种变体，因为它还兼容整数。我希望设计一种编码纯小数的无冗余完美编码，目前可以想到的做法有三种：

• 浮点数编码：存储【指数，有效部位】
• 分数编码：存储【分子，分母】
• 小数点分隔式：存储【整数部分，小数部分】

分数编码的好处在于能够精确地编码任意进制的小数，比如十进制的0.1就能存储为【1, 10】。但分数编码也造成了冗余，因为分子和分母各乘以一个数，分数值不变，所以分数编码被淘汰掉了。