考试成绩要求正态分布合理么？

考试成绩要求正态分布合理么？

上一讲中我给你讲了数据集成，今天我来讲下数据变换。

如果一个人在百分制的考试中得了95分，你肯定会认为他学习成绩很好，如果得了65分，就会觉得他成绩不好。如果得了80分呢？你会觉得他成绩中等，因为在班级里这属于大部分人的情况。

为什么会有这样的认知呢？这是因为我们从小到大的考试成绩基本上都会满足正态分布的情况。什么是正态分布呢？正态分布也叫作常态分布，就是正常的状态下，呈现的分布情况。

比如你可能会问班里的考试成绩是怎样的？这里其实指的是大部分同学的成绩如何。以下图为例，在正态分布中，大部分人的成绩会集中在中间的区域，少部分人处于两头的位置。正态分布的另一个好处就是，如果你知道了自己的成绩，和整体的正态分布情况，就可以知道自己的成绩在全班中的位置。

另一个典型的例子就是，美国SAT考试成绩也符合正态分布。而且美国本科的申请，需要中国高中生的GPA在80分以上（百分制的成绩），背后的理由也是默认考试成绩属于正态分布的情况。

为了让成绩符合正态分布，出题老师是怎么做的呢？他们通常可以把考题分成三类：

第一类：基础题，占总分70%，基本上属于送分题；

第二类：灵活题，基础范围内+一定的灵活性，占20%；

第三类：难题，涉及知识面较广的难题，占10%；

那么，你想下，如果一个出题老师没有按照上面的标准来出题，而是将第三类难题比重占到了70%，也就是我们说的“超纲”，结果会是怎样呢？

你会发现，大部分人成绩都“不及格”，最后在大家激烈的讨论声中，老师会将考试成绩做规范化处理，从而让成绩满足正态分布的情况。因为只有这样，成绩才更具有比较性。所以正态分布的成绩，不仅可以让你了解全班整体的情况，还能了解每个人的成绩在全班中的位置。

数据变换在数据分析中的角色

我们再来举个例子，假设A考了80分，B也考了80分，但前者是百分制，后者500分是满分，如果我们把从这两个渠道收集上来的数据进行集成、挖掘，就算使用效率再高的算法，结果也不是正确的。因为这两个渠道的分数代表的含义完全不同。

所以说，有时候数据变换比算法选择更重要，数据错了，算法再正确也是错的。你现在可以理解为什么80%的工作时间会花在前期的数据准备上了吧。

那么如何让不同渠道的数据统一到一个目标数据库里呢？这样就用到了数据变换。

在数据变换前，我们需要先对字段进行筛选，然后对数据进行探索和相关性分析，接着是选择算法模型（这里暂时不需要进行模型计算），然后针对算法模型对数据的需求进行数据变换，从而完成数据挖掘前的准备工作。

所以你从整个流程中可以看出，数据变换是数据准备的重要环节，它通过数据平滑、数据聚集、数据概化和规范化等方式将数据转换成适用于数据挖掘的形式。

我来介绍下这些常见的变换方法：

1. 数据平滑：去除数据中的噪声，将连续数据离散化。这里可以采用分箱、聚类和回归的方式进行数据平滑，我会在后面给你讲解聚类和回归这两个算法；
2. 数据聚集：对数据进行汇总，在SQL中有一些聚集函数可以供我们操作，比如Max()反馈某个字段的数值最大值，Sum()返回某个字段的数值总和；
3. 数据概化：将数据由较低的概念抽象成为较高的概念，减少数据复杂度，即用更高的概念替代更低的概念。比如说上海、杭州、深圳、北京可以概化为中国。
4. 数据规范化：使属性数据按比例缩放，这样就将原来的数值映射到一个新的特定区域中。常用的方法有最小—最大规范化、Z—score 规范化、按小数定标规范化等，我会在后面给你讲到这些方法的使用；
5. 属性构造：构造出新的属性并添加到属性集中。这里会用到特征工程的知识，因为通过属性与属性的连接构造新的属性，其实就是特征工程。比如说，数据表中统计每个人的英语、语文和数学成绩，你可以构造一个“总和”这个属性，来作为新属性。这样“总和”这个属性就可以用到后续的数据挖掘计算中。

在这些变换方法中，最简单易用的就是对数据进行规范化处理。下面我来给你讲下如何对数据进行规范化处理。

数据规范化的几种方法

1. Min-max 规范化

Min-max规范化方法是将原始数据变换到[0,1]的空间中。用公式表示就是：

新数值=（原数值-极小值）/（极大值-极小值）。

2. Z-Score 规范化

假设A与B的考试成绩都为80分，A的考卷满分是100分（及格60分），B的考卷满分是500分（及格300分）。虽然两个人都考了80分，但是A的80分与B的80分代表完全不同的含义。

那么如何用相同的标准来比较A与B的成绩呢？Z-Score就是用来可以解决这一问题的。

我们定义：新数值=（原数值-均值）/ 标准差。

假设A所在的班级平均分为80，标准差为10。B所在的班级平均分为400，标准差为100。那么A的新数值=(80-80)/10=0，B的新数值=(80-400)/100=-3.2。

那么在Z-Score标准下，A的成绩会比B的成绩好。

我们能看到Z-Score的优点是算法简单，不受数据量级影响，结果易于比较。不足在于，它需要数据整体的平均值和方差，而且结果没有实际意义，只是用于比较。

3.小数定标规范化

小数定标规范化就是通过移动小数点的位置来进行规范化。小数点移动多少位取决于属性A的取值中的最大绝对值。

举个例子，比如属性A的取值范围是-999到88，那么最大绝对值为999，小数点就会移动3位，即新数值=原数值/1000。那么A的取值范围就被规范化为-0.999到0.088。

上面这三种是数值规范化中常用的几种方式。

Python的SciKit-Learn库使用

SciKit-Learn是Python的重要机器学习库，它帮我们封装了大量的机器学习算法，比如分类、聚类、回归、降维等。此外，它还包括了数据变换模块。

我现在来讲下如何使用SciKit-Learn进行数据规范化。

1. Min-max 规范化

我们可以让原始数据投射到指定的空间[min, max]，在SciKit-Learn里有个函数MinMaxScaler是专门做这个的，它允许我们给定一个最大值与最小值，然后将原数据投射到[min, max]中。默认情况下[min,max]是[0,1]，也就是把原始数据投放到[0,1]范围内。

我们来看下下面这个例子：

# coding:utf-8
from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据，每一行表示一个样本，每一列表示一个特征
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],
              [ 3.,  1.,  2.],
              [ 0.,  1., -1.]])
# 将数据进行[0,1]规范化
min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
minmax_x = min_max_scaler.fit_transform(x)
print minmax_x

运行结果：

[[0.         0.         0.66666667]
 [1.         1.         1.        ]
 [0.         1.         0.        ]]

2. Z-Score规范化

在SciKit-Learn库中使用preprocessing.scale()函数，可以直接将给定数据进行Z-Score规范化。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],
              [ 3.,  1.,  2.],
              [ 0.,  1., -1.]])
# 将数据进行Z-Score规范化
scaled_x = preprocessing.scale(x)
print scaled_x

运行结果：

[[-0.70710678 -1.41421356  0.26726124]
 [ 1.41421356  0.70710678  1.06904497]
 [-0.70710678  0.70710678 -1.33630621]]

这个结果实际上就是将每行每列的值减去了平均值，再除以方差的结果。

我们看到Z-Score规范化将数据集进行了规范化，数值都符合均值为0，方差为1的正态分布。

3. 小数定标规范化

我们需要用NumPy库来计算小数点的位数。NumPy库我们之前提到过。

这里我们看下运行代码：

# coding:utf-8
from sklearn import preprocessing
import numpy as np
# 初始化数据
x = np.array([[ 0., -3.,  1.],
              [ 3.,  1.,  2.],
              [ 0.,  1., -1.]])
# 小数定标规范化
j = np.ceil(np.log10(np.max(abs(x))))
scaled_x = x/(10**j)
print scaled_x

运行结果：

[[ 0.  -0.3  0.1]
 [ 0.3  0.1  0.2]
 [ 0.   0.1 -0.1]]

数据挖掘中数据变换比算法选择更重要

在考试成绩中，我们都需要让数据满足一定的规律，达到规范性的要求，便于进行挖掘。这就是数据变换的作用。

如果不进行变换的话，要不就是维数过多，增加了计算的成本，要不就是数据过于集中，很难找到数据之间的特征。

在数据变换中，重点是如何将数值进行规范化，有三种常用的规范方法，分别是Min-Max规范化、Z-Score规范化、小数定标规范化。其中Z-Score规范化可以直接将数据转化为正态分布的情况，当然不是所有自然界的数据都需要正态分布，我们也可以根据实际的情况进行设计，比如取对数log，或者神经网络里采用的激励函数等。

在最后我给大家推荐了Python的sklearn库，它和NumPy, Pandas都是非常有名的Python库，在数据统计工作中起了很大的作用。SciKit-Learn不仅可以用于数据变换，它还提供了分类、聚类、预测等数据挖掘算法的API封装。后面我会详细给你讲解这些算法，也会教你如何使用SciKit-Learn工具来完成数据挖掘算法的工作。