一道有悖直觉的概率题

我是一个概率控，平常遇到和概率相关的事情都喜欢去推算一下，喜欢看概率有关的影视作品（决胜21点、欺诈游戏、赌博默示录……），就连在汤姆熊或是巴黎人，我也会估下哪一个机器输的可能性更小一点（赢是不可能赢的啦）。

所以，碰到概率相关的问题，我通常都不会轻易放过。之前公众号里讲过的概率问题就有好几个：

• 三门问题
• 蜥蜴流感与贝叶斯定理
• 几道有趣的概率题
• 一个略奇葩的计算圆周率的程序
• 世界杯竞猜，怎么选会赚

最近，又看到一个有意思的概率题，今天给大家分享并分析一把：

甲乙二人玩掷硬币的游戏。两人连续抛掷硬币，如果最近三次硬币抛掷结果是“正反反”，则甲胜；如果是“反反正”，则乙胜。问：谁胜的概率更高？

各位先想一下，结果是什么？

单纯看扔3次硬币的结果，“正反反”和“反反正”出现的概率都是 1/8（1/2的3次方）。那么，是不是就代表两人胜的概率是一样的呢？

以前中学时代跟同学讨论概率，如果双方有分歧，就很难说服对方。即使有了一个结论，也无法确认到底是否正确。毕竟大多数时候，你不可能亲自去实验足够多的次数。

但有了计算机和编程之后，情况就好多了。只要你的代码没有问题，通常可以模拟出实验场景，得到一个参考结果来佐证。

今天这个问题，同样可以通过代码进行模拟：

单次掷硬币，正反面的概率各是50%，这个是没有疑问的。那我们只要根据这个概率持续地产生硬币结果序列，再判断最近三次硬币结果是否触发胜负条件即可。然后，重复这个过程足够多的次数，统计双方胜负的总数，就能得到两人胜负概率的参考值。

下面放下代码，如果你想自己尝试编写，先不急着看：

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import random

p1 = 0
p2 = 0
for i in range(100000):
    last3 = []
    while True:
        x = random.choice([0, 1])
        last3.append(x)
        if len(last3) > 3:
            last3.pop(0)
        if last3 == [1, 0, 0]:
            p1 += 1
            break
        elif last3 == [0, 0, 1]:
            p2 += 1
            break

print('甲（正反反）', p1)
print('乙（反反正）', p2)

运行后的结果：

甲（正反反） 74820
乙（反反正） 25181

每次结果不会一样，但大致比例不变，基本上甲赢的概率是乙的3倍。

可能有人还是不太信。那我们再从数学的角度来尝试解释一下：

因为甲的后两位和乙的前两位是一样的，所以，对于进行中的序列，一旦出现“正”，乙就没有机会了。比如：

反正反正……

这样一个序列，如果出现乙胜的情况，必须先连出至少两个“反”，但这样就必定会形成“正反反”而导致甲胜。

所以甲胜的可能性比较复杂，但乙胜的情况只可能是从一开始就一直是“反”，包括：

反反正
反反反正
反反反反正
反反反反反正
……

这个概率还是相对好计算的：

(1/2)**3 + (1/2)**4 + (1/2)**5 + (1/2)**6 + ...

（**是python中的指数运算）

这是一个收敛的几何级数，也就是等比数列，可以通过公式求和：

a1/(1-r) = (1/8)/(1-1/2) = 1/4

所以乙胜的概率就是 25%。

这个游戏其实有点来头，它原名叫做 Penney’s game，于 1969 被提出，在不少数学书籍和编程算法题中被引用。

有人会问我，怎么能持续提高编程能力。其实，像这种“不起眼”的数学题，就是一种提高编程能力的很好方法。如果你也能没事拿起python，去算一算身边的概率，久而久之，你在处理更复杂问题时自然也会得心应手。

顺便说下，概率和分布在我们的周围普遍存在。比如我们文中的投票，如果你留心观察就会发现，在只有100个人投票和1000个人投票时，选项的分布是会很接近的。也就是说，虽然我们每个人都有着独立思维，但作为整体来看，却保持着稳定的分布特征。（比如我们的打卡活动，如果不去改动其他条件，完成率就总是在15%~20%这个范围）

多了解一些概率的知识，你会对这个世界有更准确的认知。