Python识别完美数

完美数

完美数(perfect number，又称完全数)指，它所有的真因子(即除了自身以外的因子)和，恰好等于它自身。

第一个完美数：6，

第二个完美数：28，

第三个完美数：496，

第四个完美数：8128，

第五个完美数：33550336,

.......

2 探索

在茫茫数海中，第五个完美数(33550336)要大得多，居然藏在千万位数的深处！它在十五世纪被人们发现，计算机问世后，借助这一有力工具，数论爱好者们继续探索。

笛卡尔曾公开预言：“能找出的完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”

时至今日，人们一直没有发现有奇完美数的存在。于是是否存在奇完美数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。

经过不少数学家研究，到2013年为止，一共找到了48个完美数。

3 有趣性质

1. 目前发现的完美数都是以6或8结尾，会不会有奇完全数存在？如果存在，它必须大于10^300，至今无人能回答这些问题。

2. 所有的完美数都是三角形数。例如：

6=1+2+3 28=1+2+3+...+6+7 8128=1+2+3…+126+127

3. 所有完美数的倒数都是调和数。例如：

1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

4. 可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：

28=1³+3^3 496=1^3+3^3+5^3+7^3 8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4 判断

如何判断是为否完美数呢？在计算机数值型可以表达的的范围内，我们可以尝试找一找。

这是一道leetcode题(No.507)，我前段时间写过一个解，在leetcode平台上已通过：

class Solution:
    def checkPerfectNumber(self, num: int) -> bool:
        sum = 1
        tmp = num
        if num == 0 or num==1:
            return False
        while num%2 == 0:
            num /= 2
            sum += num+tmp/num
        return sum==tmp

已知完美数都以6或8结尾，所以才有了上面的方法，注意这不是寻找一个数所有因子的方法。使用6或8结尾这个小trick，实现更高效（ > 95.26%），但不严谨。

很遗憾，今天我发现这是一个错误的解法，虽然在Leetcode上已经通过。原因如下，我们试图打印尽可能多的完美数：

import sys

if __name__ == "__main__":
    s = Solution()
    i,j = 0,0
    while(i<sys.maxsize):
        isPerfect = s.checkPerfectNumber(i)
        if isPerfect is True:
            j+=1
            print("第%d个完美数: %d"%(j,i))
        i+=1

第1个完美数: 6

第2个完美数: 28

第3个完美数: 120

第4个完美数: 496

第5个完美数: 2016

第6个完美数: 8128

第7个完美数: 32640

第8个完美数: 130816

第9个完美数: 523776

第10个完美数: 2096128

很明显，120不是一个完美数，因此，可以确定Leetcode平台遗漏了这些cases，已经将此问题提交到Leetocode，如下所示：

5 正解

如果遍历所有的小于num的数，check是否为其因子，时间复杂度为o(n),在平台上提交会超时。

一种更好的解法，时间复杂度为O(sqrt(n)), 因为num的两个因子：num_i和num_j，假设num_i < num_j ，则 num_i 的最大值为 sqrt(num), 所以我们只需要遍历到sqrt(num)即可。

代码如下：

class Solution:
    def checkPerfectNumber(self, num: int) -> bool:
        if num <= 0:
            return False
        
        i, sum = 1, 0
        while i*i <= num:
            if num % i == 0:
                sum += i
            if i*i != num:
                sum += num / i
            i += 1
            
        return sum - num == num 

6 更多完美数

6. 8,589,869,056 7. 137,438,691,328 8. 2,305,843,008,139,952,128

9. 2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 10. 191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216 11. 13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128 12. 14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128

…… …… 47 ……2^42643800 X (2^42643801-1) 48 ……2^57885160 X (2^57885161-1) 由于后面数字位数较多，例子只列到12个，第13个有314位。 到第39个完全数有25674127位数，据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。

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