线性代数--MIT18.06(三)

前文传送

1. 线性代数--MIT18.06（一）：方程组的几何解释
2. 线性代数--MIT18.06（二）：矩阵消元（初等变换）

3. 矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1 课程内容：理解矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1.1 矩阵乘法的四种方式

首先我们定义矩阵乘法 AB = C

• 基本方法（行乘以列） 我们知道，矩阵 C 的 ( i, j ) 元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的各元素相乘之和，即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列点乘所得到的结果

• 行的角度 正如第一讲所说，从行的角度来看，即 C 的各行为 B 的各行的线性组合构成，B 的各行的线性组合的系数为 A 的行的各个分量，即

• 列的角度 正如第一讲所说，从列的角度来看，即 C 的各列为 A 的各列的线性组合构成，A 的各列的线性组合的系数为 B 的列的各个分量，即

• 列乘以行的角度 由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵，因此从列乘以行的角度来看，矩阵 A 乘以 B 得到的是 n 个矩阵之和，其中第 i 个矩阵由 A 的第 i 列乘以 B 的第 i 行得到。

• 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（相乘的分块的大小要相互匹配--可乘）

3.1.2 Gauss-Jordan法求逆矩阵

在第一讲的最后我们提到，如果系数矩阵 A 的逆矩阵

存在的话， Ax = b 的解就可以由

得到 ：

那么如何得到

？ 我们知道

的形式，只不过 x 为 A 的逆矩阵

,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解，只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已，这就是Gauss-Jordan法。

以矩阵 A 为例

首先构建增广矩阵,之后逐步消元即可

上述过程我们有一个重要假设，那就是

存在，那么什么情况下它才存在呢？

• 直观的解释 从上消元过程的最后一步我们知道只有当 系数矩阵A 能够消元到单位阵 I ，

存在，也就是说系数矩阵的各行或各列不能是线性相关的（某一 行/列 是其他 行/列 的线性组合）

• Ax = 0 没有非零解 当 Ax=0 有非零解的时候，可以判断

不存在，为什么呢？ 很简单的推理那就是，当 Ax=0 有非零解的时候，假设

存在，那么在等式两边都左乘

，即可得到

，这与我们的前提假设存在非零解所矛盾，因此

不存在。

3.1.3 AB的逆，A的转置的逆

3.2 矩阵乘法习题课

2011年练习题

问：当 a,b 满足什么条件下矩阵 A 存在逆矩阵，并求解该逆矩阵。