线性代数--MIT18.06(五)

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5. 转置、置换和向量空间、子空间

5.1 A的LU分解中存在换行

■ 置换矩阵

继续上一讲的内容，由上一讲可知我们可以将系数矩阵 A 分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，但是我们给定了一个前提假设—— A 在消元过程中不做换行，这一次我们来解决如果在消元过程中存在换行的情况。

由矩阵乘法的定义我们知道，实际上对 A 换行，也可以由 A 左乘一个矩阵来完成，我们称 A 左乘的矩阵为置换矩阵（P, Permutation matrix）

由此我们得到

实际上单位阵就是一个置换矩阵，只不过它不对行进行更换，对于原分解过程我们可以这样理解

由此我们得到置换矩阵集合： 对单位矩阵 I 各行进行(或列)重排之后的矩阵集合。 这样对于给定的矩阵 A , 我们也能很快地知道所有的置换矩阵的个数，即为各行的全排列数，即n的阶乘（ n! ）

另外由其定义我们还可以得知置换矩阵的一个 特性

■ 转置矩阵

直观来看，将矩阵 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到 A 的转置。即

■ 对称矩阵

特别的我们发现一些矩阵转置之后还是原矩阵，这样的矩阵称为对称矩阵（Symmetric matrix , S）, 即

同时我们发现可以通过任意矩阵，其自身与其转置的乘积得到对称阵，即

5.2 向量空间、子空间

■ 向量空间的定义：

所有 n 维向量构成的空间即为向量空间

■ 子空间的定义：

子空间是向量空间

中满足如下条件的部分空间：

对于

的子空间

，任意

, 它们的所有线性组合也在

中。简单来说就是子空间对其内的向量是对乘法和加法封闭的。

举例来说

的所有子空间：

自身

1. 零向量

1. 所有通过零向量

的直线

的所有子空间：

自身

1. 零向量

1. 所有通过零向量

的直线

1. 所有通过零向量

的平面

5.3 习题课：三维空间子空间

2011年秋季习题

问题一

• 求

构成的最小子空间

• 求

构成的最小子空间

• 求

问题二

由

构成，

是否成立？

• 给出一个

的子空间 S ，满足

问题三

是什么？

解答

1. 由子空间的定义我们知道子空间需要对乘法和加法封闭，这两个向量都过原点, 因此他们各自的最小 子空间 就是他们各自所在的直线， 两条直线只有一个交点--原点
2. 当然不成立，我们知道两个非共线向量可以构成一个平面，而两条直线的并集还是两条直线，同时我们可以知道

,为了满足

， 实际上只需要取任意过原点的直线（

向量的任意线性组合，但是不与

所在的这两条直线重合即可，即只要不取（0,1）或者（1,0）即可）

1. 就是

所在的直线, 也即

. 因为

恰好就在xy平面上。

由该习题我们也可以得出结论

• 子空间的并集 不再是子空间
• 子空间的交集，依然是一个子空间