线性代数--MIT18.06(三十三)

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33. 第三部分复习

33.1 课程内容：第六章节内容复习

对应于课本（Introduction to Linear Algebra）第六章内容的习题课

主要的内容知识点:

1.特征值和特征向量（6.1,6.2）。如何求特征值?

(也可以使用另外一些办法，如矩阵的性质-奇异必有特征值为 0，特征值乘积等于行列式值等)

2.微分方程（6.3）。

3.对称矩阵的特性（6.4）。主要是特征值为实数，特征向量充足且正交，可以构建特征向量矩阵，其为正交矩阵.于是原矩阵可以表示为:

4.正定矩阵（6.5）。特征值为正数，子行列式为正数，主元为正数等性质

5.相似矩阵（6.6）。

。重要性质，特征值相等

6.奇异值分解（6.7）。

【一】微分方程

为奇异矩阵，得出其中一个特征值为 0 ,由于

为反对称矩阵(

)，因此另外两个特征值为复数，求解

可知另外两个特征值为

, 通解形式为

因为没有初始值的条件，因此只写出通解的形式。

再问，什么时候

回到初始值?

通过对

，可知它是一个周期函数，在复平面的圆上周期变化，因此它既不收敛也不发散，对于其周期

, 可知

条件满足时，其回到初始状态，即周期

【二】一未知矩阵

, 已知特征值分别为

，和特征向量

• 该矩阵是否对于任意 c 都可对角化?

是。因为特征向量正交，即意味着特征向量线性无关

• 矩阵是否可为对称矩阵 ?

对称矩阵的性质，特征值为实数，特征向量正交 ，因此当

为实数时，矩阵可为对称矩阵

• 何时为正定矩阵?

正定矩阵的性质，所有特征值都大于 0 ，而目前存在为 0 的特征值，因此矩阵不可能为正定矩阵，但是当

，则矩阵为半正定矩阵

• 是否可能是马尔科夫矩阵?

不可能为马尔科夫矩阵，马尔科夫矩阵性质，其中一个特征值为 1，其余特征值小于 1

• 矩阵的一半（

）是否为投影矩阵? 从投影矩阵的特征值入手，投影矩阵的特征值为 0 或者 1 ，因此当

为 0 或者 1, 则为投影矩阵，即

【三】奇异值分解

回忆一下 SVD 的核心公式:

,其中

和

为标准正交矩阵(正交且长度为1)，

为对角矩阵。

• 如何根据这个公式推导出

？

关键是

通过这两个公式，我们知道

为

的特征向量矩阵,

为

的特征向量矩阵,假设

为对角矩阵

的值，那么

对应

(或者

,两者拥有相同的特征值，但是特征向量不同) 的特征值的开平方, 即

我们来深刻理解一下

这个公式，这个公式实际上的意义是

,即我们可以通过投影矩阵

得到其行空间对应的列空间的向量，而式子中的

为对应的放缩因子(由于投影后的长度可能不一致，因此需要通过一个常数项来缩放)

那么问题来了，给定矩阵分解形式如下所示，可以得出

有哪些性质?

由该形式可知特征值都大于 0 ，并且为方阵，因此矩阵可逆。

如果将其中的 2 改为 0 ，那么又如何？ 零空间中的特征向量为什么？

如果修改，则矩阵为奇异矩阵，其秩为 1，由于是 2阶矩阵，因此零空间为 1 维，并且零空间中的特征向量就为

【四】假设矩阵

为对称且正交矩阵，回答下述问题

• 特征值有什么特点

由于对称，我们知道特征值为实数。对于正交矩阵，矩阵的转置特征值是不变的，可以得到特征值的绝对值为 1, 即特征值为 1 或 -1

• 是否为正定矩阵?

不是。无法判断正定矩阵的全部性质。

• 是否可对角化?

是。正交矩阵都可对角化

• 是否可逆?

是。因为是正交矩阵,列向量独立

是否为投影矩阵?

投影矩阵的性质，对称且

因为正交且对称，因此

， 即

, 于是

因此该矩阵为投影矩阵

33.2 习题课

2011年测验题目讲解习题课

（https://open.163.com/movie/2016/4/F/E/MBKJ0DQ52_MBR0VPVFE.html）

在下列情况下求解特征值和特征向量

1.投影矩阵

,

2.旋转矩阵

3.反射矩阵

解答

1.由投影矩阵的性质

,以及特征向量的定义

，可以得到

即得到特征值为

, 而投影矩阵特征值为 1 对应的特征向量就是

, 因为

这就表明

已经在列空间之中，那么特征值为 0 的特征向量，就取与

正交（垂直）即可，即

2.旋转矩阵直接使用求解方法求解

可以发现特征值是共轭的，那么特征向量也是共轭的，代入求解

，即得到特征向量为

3.该反射矩阵相当于是对投影矩阵平移，单位平移不会改变特征向量，只是对特征值平移，因此可以知道特征向量

的对应特征值平移为

，特征向量

的对应特征值平移为