优化算法——拟牛顿法之BFGS算法

一、BFGS算法简介

BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法，是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。

    同DFP校正的推导公式一样，DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程：

可以化简为：

令

，则可得：

在BFGS校正方法中，假设：

二、BFGS校正公式的推导

    令

，其中

均为

的向量。

，

。

    则对于拟牛顿方程

可以化简为：

将

代入上式：

将

代入上式：

    已知：

为实数，

为

的向量。上式中，参数

和

解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设

，

。则

代入上式：

令

，

，则：

则最终的BFGS校正公式为：

三、BFGS校正的算法流程

    设

对称正定，

由上述的BFGS校正公式确定，那么

对称正定的充要条件是

。

    在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件，此时可以对BFGS校正公式做些许改变：

BFGS拟牛顿法的算法流程：

四、求解具体优化问题

   求解无约束优化问题

其中，

。

python程序实现：

1. function.py#coding:UTF-8 ''' Created on 2015年5月19日 @author: zhaozhiyong ''' from numpy import * #fun def fun(x): return 100 * (x0,0 ** 2 - x1,0) ** 2 + (x0,0 - 1) ** 2 #gfun def gfun(x): result = zeros((2, 1)) result0, 0 = 400 * x0,0 * (x0,0 ** 2 - x1,0) + 2 * (x0,0 - 1) result1, 0 = -200 * (x0,0 ** 2 - x1,0) return result
2. bfgs.py#coding:UTF-8 from numpy import * from function import * def bfgs(fun, gfun, x0): result = [] maxk = 500 rho = 0.55 sigma = 0.4 m = shape(x0)0 Bk = eye(m) k = 0 while (k < maxk): gk = mat(gfun(x0))#计算梯度 dk = mat(-linalg.solve(Bk, gk)) m = 0 mk = 0 while (m < 20): newf = fun(x0 + rho ** m * dk) oldf = fun(x0) if (newf < oldf + sigma * (rho ** m) * (gk.T * dk)0,0): mk = m break m = m + 1 #BFGS校正 x = x0 + rho ** mk * dk sk = x - x0 yk = gfun(x) - gk if (yk.T * sk > 0): Bk = Bk - (Bk * sk * sk.T * Bk) / (sk.T * Bk * sk) + (yk * yk.T) / (yk.T * sk) k = k + 1 x0 = x result.append(fun(x0)) return result
3. testBFGS.py#coding:UTF-8 ''' Created on 2015年5月19日 @author: zhaozhiyong ''' from bfgs import * import matplotlib.pyplot as plt x0 = mat([-1.2, 1]) result = bfgs(fun, gfun, x0) n = len(result) ax = plt.figure().add_subplot(111) x = arange(0, n, 1) y = result ax.plot(x,y) plt.show()

五、实验结果