这是一个我觉得很重要也很常用的概念,所以单独拿出来记录一下,因为后面的
秩
和基
还有其他的一些概念都会用到这个知识点
同维数
的列向量(或者同维数
的行向量)所组成的集合,叫做向量组。
大白话就是:有一个集合,它里面都是同维数的向量线性表示
严格定义: 如果存在不全为零
的实数k1、k2...km,使上面的等式成立,则这个向量组线性相关,否则线性无关。
注:这里这个向量组里是包含那个“菜向量”的,这时候任何一个向量单独拿出来,对剩下的向量的向量组来说都是线性相关的,比如把盐
拿出来的话,那就相当于菜向量+那些负的材料向量就能得到盐向量
整理得:
因此,a1是a2..am的线性组合,因此,a1与剩下的向量组线性相关,但是刚才的式子里a1其实还可以替换成其他的向量,所以这个式子可以证明这个向量组里的任何一个向量,都可以由剩下的向量线性表示。
左边的两个向量是线性相关的,右边则不是。也就是说,当且仅当他们落在过原点的同一直线上,两个向量线性相关。 含有多个向量的向量组最终也可以看作是两个向量,除了要讨论的向量,其他的向量经过线性组合之后结果还是一个向量。
零向量
那么这个向量组就线性相关
因为它可以看成其他的k都为0,只有零向量的k不为0的向量组,结合上面的公式你瞅瞅,恒成立。。没办法,零向量叼
均匀
的变化。
就像匀速行驶的汽车,从一个地点直线到另一个地点的位置变化,可以看作坐标系里的一个点,经过一个线性变化到达了目的地,而我们默认向量的起点为坐标原点,所以这个汽车的位置也可以看作是从原点到汽车的一个向量,经过线性变化后变成了新向量。