机器学习学习笔记（6） Logistic 回归

丹

发布于 2018-09-03 10:15:24

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线性模型可以进行回归学习，但是若要做分类任务该怎么办，只需要找一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归的预测值联系起来。

对数几率函数（logistic function）（逻辑斯蒂回归）：

对数几率函数是一种Sigmoid函数，将z值转化为一个接近0或者1的y值，并且其输出值在z=0附近变化很陡。

将y视为样本x作为正例的可能性，1-y则是反例的可能性，两者的比值为

称为几率。反应了x作为正例的可能性。

可以看出，

是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应模型称为对数几率回归。需要注意的是名字带有回归，实际上式分类方法。

这种方法的优点包括：直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，避免假设分布不准确所带来的问题，不是仅仅预测出类别，而是可以得到近似概率预测，这对许多需要利用概率辅助决策的任务很有用，此外，对率函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现在的许多数值优化算法都可直接用于求取最优解。

如何确定其中的w和b。将y视为类后验概率

，则：

，有

，

，然后可以通过极大似然大来估计w和b。

给定数据集，对率回归模型最大化对数似然，

，即令每个样本术语其真实标记的概率越大越好。

令

，

，则

，将其带入上式，

，该式子是关于

的高阶可导连续函数，可以通过经典的数值优化算法梯度下降法、牛顿法等求得其最优解。

梯度下降法实现代码：

梯度下降w迭代公式为：

# 代码以及数据集源自于机器学习实战，见https://github.com/AnnDWang/MachineLearning/blob/master/thirdbook/ch5/logRegres.py
# logistic 回归梯度上升优化算法
def loadDataSet():
    dataMat=[]
    labelMat=[]
    fr=open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split()
        dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
    dataMatrix=mat(dataMatIn)
    labelMat=mat(classLabels).transpose()
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.001
    maxCycles=500
    weights=ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):
        h=sigmoid(dataMatrix*weights)
        error=(labelMat-h)
        weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
    return weights

dataArr,labelMat=loadDataSet()
weights=gradAscent(dataArr,labelMat)

# 随机梯度上升算法
def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.01
    weights=ones(n)
    for i in range(m):
        h=sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error=classLabels[i]-h
        weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
    return weights

# 改进的随机梯度上升算法
# alpha在每次迭代时候都会调整，这回缓解数据波动或者高频波动
# 虽然alpha会随着迭代次数不断减小，但永远不会减小到0
# 这是因为alpha更新公式中存在一个常数项，保证多次迭代之后新数据仍然有一定的影响
# 如果要处理的问题是动态变化的，那么可以适当加大常数项，来确保新的值获得更大的回归系数
# 在降低alpha函数中，每次减少1/(j+i)，其中j是迭代次数，i是样本点的下标，
# 这样当j<<max(i)时，alpha就不是严格下降的
# 避免参数的严格下降也常见于模拟退火等其他优化算法
def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
    m,n=shape(dataMatrix)
    weights=ones(n)
    for j in range(numIter):
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha=4/(1.0+j+i)+0.01 # alpha在每次迭代时候都会调整
            randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex))) # 随机选取更新
            h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error=classLabels[randIndex]-h
            weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights