关于BP网络的一些总结

背景

     前段时间，用过一些模型如vgg,lexnet，用于做监督学习训练，顺带深入的学习了一下相关模型的结构&原理，对于它的反向传播算法记忆比较深刻，

就自己的理解来描述一下BP网络.

关于BP网络的整体简述

     BP神经网络，全程为前馈神经网络，它被用到监督学习中的主体思想是（我们假定我们这里各个层Layer次间采用的是全链接）： 通过各个Layer层的激励和权值以及偏置的处理向前传递，最终得到一个预期的值，然后通过标签值和预期的值得到一个残差值，残差值的大小反映了预期值和残差值的偏离程度，然后使用反向传播算法（见下文），然后对上一层的推倒公式进行梯度（就是对应每一个变量x1,x2,x3,x4,x5，.....,xn求解偏导，见下文）求解，然后代入各个变量x，得到各个变量x 当前层Layer对应的权值w'(这个w'其实就是当前w偏离真实的w的残差值)，然后依次的向上一层反向传播，最终到达Input层，这时候我们会就会得到各个层Layer相对应的权值w的偏离值，然后我们可以设定一个学习率（在caffe中是用l_r表示的），也就是步长，来设置我们参数更新的大小其实就是各个层layer当前的权值w加上对应的w的偏离值乘上这个步长即 w+=w‘*l_r，这样就达到了参数的更新，然后通过数次迭代调整好w,b参数，特别需要强调一下的是，b可以是固定的，也可以设置成跟w权值相关的，比如b=w/2 等等,视情况而定。

     以上就是就是BP网络的大致的描述了，那么我们开始到BP网络的每一个细节，进行说明吧.~

关于梯度

     对于梯度，我们这里就从这几个角度进行一下解释，什么是梯度，梯度在BP网络中的作用，或者说为什么BP网络中要采用梯度. 

  1.1什么是梯度？

      梯度，即求偏导，比如我们有这样一个函数，f = 2a +3b  ,如果我们求解a的梯度，fa = 2,如果我们求解b的梯度，f_b = 3

以上就是对梯度最简单的描述，那个也是只有一层神经网络时的参数求解，但是在实际的网络模型中，我们基本上不会用那么简单的模型，我们一般用层数较多（大于2层的模型进行）的模型来解决我们所面临的问题，对于多层神经网络

                                                       如图，这是一个三层的神经网络

       我们一般将其等化成数学中的复合函数，比如上图中这个三层的（全链接的）神经网络，其实用复合函数的公式表示就是这样：

     对于第一层

                                   f1 = x1*w1_11 + x2*w1_12 +b1_1

                                   f2 = x1*w1_21 + x2*w1_22 +b1_2

                                   f3 = x1*w1_31 + x2*w1_32 +b1_3

     然后进入到第二层

                                f4 = f1*w2_11 + f2*w2_12 + f3*w2_13 + b2_1

                                f5 = f1*w2_21 + f2*w2_22 + f3*w2_23 + b2_2

     然后第三层

　　　　　　　　　　  f6 = f4*w3_11 + f5*w3_12 + b3_1

    这个其实就和 f = (1-x^2)^3 改写成 g =x^2 , t = 1-x , f = x^3 是一个道理

         第一层： g = x^2

         第二层： t =1-g  

         第三层:  f = t^3      

     我们对于这种复合函数求解梯度的步骤，如下：

           f' = 3t^2*t' 对t求偏导数 

           t' = -g'       对g求偏导数

           g' = 2x      对x求偏导数

     这就是求解梯度的过程.

 　　　　以上就是对于梯度的一个描述

   1.2 那么梯度在BP网路中起到何种作用？

         梯度在求解的过程中，其实就是对逐个变量进行求导，比如f =a(bx),我们将其改成复合函数f=2g ,g = bx ,对x进行求导，那么我们会得到变量的系数. 而我们所做的这一切就是为了得到这个，得到每一层Layer的各个变量对应的系数，这个系数非常重要，我们来举个例子说明一下，比如这个函数，f = a(bx),假设我们刚开始的时候随机的设定一个值给a = 0.23 , b=1 ，x去一系列值[1,2,3],我们都事先知道f的值对应[0.5,1,1.5]，假定我们无法直接计算得到a的值为0.5，我们来一步步的估算a的，步骤如下：

            不妨假定函数的真实值用ft表示，预估值用fp表示，残差用fre.

            当  x = 1 , ft = 0.5

            而我们用公式得到fp =0.23 ，fre =  ft - fp =0.26,然后得到： are = 0.26*a,注 are为a的偏差值

           ，得到bre = b*are=1*0.26*a 

           然后我们再求解b的更新值 b_n = b + l_r*bre*b（g求关于x的梯度）*1 (l_r为我们设定的学习率)

                       再更新 a_n = a + l_r*are*ab(f求关于x梯度的值)*1

         这样 我们就对参数a,b进行了更新.

     然后当x =2 ,ft=1 .....依次这样迭代更新 a,b

我们就是通过这种方式来进行参数更新的....

2 关于梯度的反向传播.

      反向传播就是将残差反推到各个参数上，求解各个参数的误差值，最后在每一个变量的梯度的方向上对误差进行修正，修正的幅度依据学习率而定.

参考文献： 

             1.   http://galaxy.agh.edu.pl/~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html