动态规划的算法题往往都是各大公司笔试题的常客。在不少算法类的微信公众号中,关于“动态规划”的文章屡见不鲜,都在试图用最浅显易懂的文字来描述讲解动态规划,甚至有的用漫画来解释,认真读每一篇公众号推送的文章实际上都能读得懂,都能对动态规划有一个大概了解。
什么是动态规划?通俗地理解来说,一个问题的解决办法一看就知道(穷举),但不能一个一个数啊,你得找到最优的解决办法,换句话说题目中就会出现类似“最多”、“最少”,“一共有多少种”等提法,这些题理论上都能使用动态规划的思想来求解。动态规划与分治方法类似,都是通过组合子问题的解来求解原问题,但它对每个子问题只求解一次,将其保存在表格中,无需重新计算,通常用于求解最优化问题——《算法导论》。
编辑距离(Edit Distance),在本文指的是Levenshtein距离,也就是字符串S1通过插入、修改、删除三种操作最少能变换成字符串S2的次数。例如:S1 = abc,S2 = abf,编辑距离d = 1(只需将c修改为f)。在本文中将利用动态规划的算法思想对字符串的编辑距离求解。
定义:S1、S2表示两个字符串,S1(i)表示S1的第一个字符,d[i, j]表示S1的第i个前缀到S2的第j个前缀(例如:S1 = ”abc”,S2 = ”def”,求解S1到S2的编辑距离为d[3, 3])。
1)在S1字符串末位插入字符“f”,此时S1 = ”abcf”,S2 = ”def”,此时即S1[i] = S2[j]的情况,S1变换为S2的编辑距离为d[4, 3] = d[3, 2]。所以得出d[i, j]=d[i, j - 1] + 1。(+1是因为S1新增了”f”)
2)在S2字符串末位插入字符“c”,此时S1 = ”abc”,S2 = ”defc”,此时即S1[i] = S[j]的情况,S1变换为S2的编辑距离为d[3, 4] = d[2, 3]。所以得出d[i, j]=d[i - 1, j] + 1,实际上这是对S1做了删除。(+1是因为S2新增了”c”)
3)将S1字符串末位字符修改为”f”,此时S1 = ”abf”,S2 = ”def”,此时即S1[i] = S[j]的情况,S1变换为S2的编辑距离为d[3, 3] = d[2, 2]。所以得出d[i, j] = d[i – 1, j - 1] + 1。(+1是因为S1修改了“c”)
综上,得出递推公式:
=>
不妨用表格表示出动态规划对S1=”abc”,S2=“def”的求解过程。
可以看出红色方块即是最终所求的编辑距离,整个求解过程就是填满这个表——二维数组。下面是Java、Python分别对字符串编辑距离的动态规划求解。
Java
1 package com.algorithm.dynamicprogramming;
2
3 /**
4 * 动态规划——字符串的编辑距离
5 * s1 = "abc", s2 = "def"
6 * 计算公式:
7 * | 0 i = 0, j = 0
8 * | j i = 0, j > 0
9 * d[i,j] = | i i > 0, j = 0
10 * | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]) s1(i) = s2(j)
11 * | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]+1) s1(i) ≠ s2(j)
12 * 定义二维数组[4][4]:
13 * d e f d e f
14 * |x|x|x|x| |0|1|2|3|
15 * a |x|x|x|x| => a |1|1|2|3| => 编辑距离d = [3][3] = 3
16 * b |x|x|x|x| b |2|2|2|3|
17 * c |x|x|x|x| c |3|3|3|3|
18 *
19 * Created by yulinfeng on 6/29/17.
20 */
21 public class Levenshtein {
22
23 public static void main(String[] args) {
24 String s1 = "abc";
25 String s2 = "def";
26 int editDistance = levenshtein(s1, s2);
27 System.out.println("s1=" + s1 + "与s2=" + s2 + "的编辑距离为:" + editDistance);
28 }
29
30 /**
31 * 编辑距离求解
32 * @param s1 字符串s1
33 * @param s2 字符串s2
34 * @return 编辑距离
35 */
36 private static int levenshtein(String s1, String s2) {
37 int i = 0; //s1字符串中的字符下标
38 int j = 0; //s2字符串中的字符下标
39 char s1i = 0; //s1字符串第i个字符
40 char s2j = 0; //s2字符串第j个字符
41 int m = s1.length(); //s1字符串长度
42 int n = s2.length(); //s2字符串长度
43 if (m == 0) { //s1字符串长度为0,此时的编辑距离就是s2字符串长度
44 return n;
45 }
46 if (n == 0) {
47 return m; //s2字符串长度为0,此时的编辑距离就是s1字符串长度
48 }
49 int[][] solutionMatrix = new int[m + 1][n + 1]; //求解矩阵
50 /**
51 * d e f
52 * |0|x|x|x|
53 * a |1|x|x|x|
54 * b |2|x|x|x|
55 * c |3|x|x|x|
56 */
57 for (i = 0; i < m + 1; i++) {
58 solutionMatrix[i][0] = i;
59 }
60 /**
61 * d e f
62 * |0|1|2|3|
63 * a |x|x|x|x|
64 * b |x|x|x|x|
65 * c |x|x|x|x|
66 */
67 for (j = 0; j < n + 1; j++) {
68 solutionMatrix[0][j] = j;
69 }
70 /**
71 * 上面两个操作后,求解矩阵变为
72 * d e f
73 * |0|1|2|3|
74 * a |1|x|x|x|
75 * b |2|x|x|x|
76 * c |3|x|x|x|
77 * 接下来就是填充剩余表格
78 */
79 for (i = 1; i < m + 1; i++) { //i = 1,j = 1, 2, 3,以行开始填充
80 s1i = s1.charAt(i - 1);
81 for (j = 1; j < n + 1; j++) {
82 s2j = s2.charAt(j - 1);
83 int flag = (s1i == s2j) ? 0 : 1; //根据公式,如果s1[i] = s2[j],则d[i,j]=d[i-1,j-1],如果s1[i] ≠ s2[j],则其中一个公式为d[i,j]=d[i-1,j-1]+1
84 solutionMatrix[i][j] = min(solutionMatrix[i][j-1] + 1, solutionMatrix[i-1][j] + 1, solutionMatrix[i-1][j-1] + flag);
85 }
86 }
87 return solutionMatrix[m][n];
88 }
89
90 /**
91 * 根据公式求解编辑距离
92 * @param insert s1插入操作
93 * @param delete s1删除操作
94 * @param edit s1修改操作
95 * @return 编辑距离
96 */
97 private static int min(int insert, int delete, int edit) {
98 int tmp = insert < delete ? insert : delete;
99 return tmp < edit ? tmp : edit;
100 }
101 }
Python3
1 '''
2 动态规划——字符串的编辑距离
3 s1 = "abc", s2 = "def"
4 计算公式:
5 | 0 i = 0, j = 0
6 | j i = 0, j > 0
7 d[i,j] = | i i > 0, j = 0
8 | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]) s1(i) = s2(j)
9 | min(d[i,j-1]+1, d[i-1,j]+1, d[i-1,j-1]+1) s1(i) ≠ s2(j)
10 定义二维数组[4][4]:
11 d e f d e f
12 |x|x|x|x| |0|1|2|3|
13 a |x|x|x|x| => a |1|1|2|3| => 编辑距离d = [4][4] = 3
14 b |x|x|x|x| b |2|2|2|3|
15 c |x|x|x|x| c |3|3|3|3|
16 '''
17 def levenshtein(s1, s2):
18 i = 0 #s1字符串中的字符下标
19 j = 0 #s2字符串中的字符下标
20 s1i = "" #s1字符串第i个字符
21 s2j = "" #s2字符串第j个字符
22 m = len(s1) #s1字符串长度
23 n = len(s2) #s2字符串长度
24 if m == 0:
25 return n #s1字符串长度为0,此时的编辑距离就是s2字符串长度
26 if n == 0:
27 return m #s2字符串长度为0,此时的编辑距离就是s1字符串长度
28 solutionMatrix = [[0 for col in range(n + 1)] for row in range(m + 1)] #长为m+1,宽为n+1的矩阵
29 '''
30 d e f
31 |0|x|x|x|
32 a |1|x|x|x|
33 b |2|x|x|x|
34 c |3|x|x|x|
35 '''
36 for i in range(m + 1):
37 solutionMatrix[i][0] = i
38 '''
39 d e f
40 |0|1|2|3|
41 a |x|x|x|x|
42 b |x|x|x|x|
43 c |x|x|x|x|
44
45 '''
46 for j in range(n + 1):
47 solutionMatrix[0][j] = j
48 '''
49 上面两个操作后,求解矩阵变为
50 d e f
51 |0|1|2|3|
52 a |1|x|x|x|
53 b |2|x|x|x|
54 c |3|x|x|x|
55 接下来就是填充剩余表格
56 '''
57 for x in range(1, m + 1):
58 s1i = s1[x - 1]
59 for y in range(1, n + 1):
60 s2j = s2[y - 1]
61 flag = 0 if s1i == s2j else 1
62 solutionMatrix[x][y] = min(solutionMatrix[x][y-1] + 1, solutionMatrix[x-1][y] + 1, solutionMatrix[x-1][y-1] + flag)
63
64 return solutionMatrix[m][n]
65
66 def min(insert, delete, edit):
67 tmp = insert if insert < delete else delete
68 return tmp if tmp < edit else edit
69
70 s1 = "abc"
71 s2 = "def"
72 distance = levenshtein(s1, s2)
73 print(distance)