【优化2】整数优化

• 概述
• IP类型
• 建立IP
• 逻辑型
  • 或的逻辑约束
  • 三个选择的或
  • 只有才
  • 更多或
  • 整数可除
  • 多边形组合
  • 固定花费
  • 分段线性
• 组合型
  • set covering
  • set packing
  • 食堂定位
  • 地图填色
• Julia例子
  • 9数独

概述

整数优化就是线性优化，加上了一些决策变量的限制，即部分决策变量必须得是整数。

相比LP，IP优势在于：

• 可以对任何LP不可以建模的变量及约束进行建模
• 更实用
• 更灵活

劣势在于：

• 建模更困难
• 求解更困难

IP类型

IP按照程度依次加深，可以分为三类：

• MIPS：混合整数规划。对于部分或者全部的决策变量，都要求非负整数。
• PIPS：纯整数规划。对于全部的决策变量，都要求非负整数。
• BIPS：01整数规划。对于全部的决策变量，都要求在0或1中取值。

建立IP

很多时候，我们遇到的问题并不是直接以线性约束+整数限制的条件给出的，这种情况下，需要我们自己去建立IP。

逻辑型

下面的例子用xi代表第i个是否选中，1为选中0为不选中。

1. 如果选择x1，那么必须选择x3。
2. 如果选择x1，那么不能选择x5。
3. x1被选中当且仅当x2被选中。
4. x2或x3被选中，可以都被选中。
5. x2或x3被选中，不可以都被选中。

对应的IP约束为：

1. x1-x3<=0
2. x1+x5<=1
3. x1-x2=0
4. x2+x3>=1
5. x2+x3=1

或的逻辑约束

或的逻辑问题，可以用用bigM方法去解决，其思想是通过添加新的变量，将部分约束变成多余的。

例如，对于问题

或

（两者可以都出现），y1、y2的定义域是[0，5]。可行域非线性，不可以用LP解决，IP解决方法如下：

类似地，对于

或

，其IP解决 方法是：

三个选择的或

只有才

更多或

整数可除

多边形组合

固定花费

分段线性

组合型

set covering

set packing

食堂定位

地图填色

Julia例子

9数独

• Rule 1. Each cell contains an integer in [1,9].
• Rule 2. Each row must contain each of the integers in [1,9].
• Rule 3. Each column must contain each of the integers in [1,9].
• Rule 4. Each of the nine 3x3 squares with bold outlines must contain each of the integers in [1,9].

# model
m = Model()

# data
# The given digits
init_sol = [ 5 3 0 0 7 0 0 0 0;
6 0 0 1 9 5 0 0 0;
0 9 8 0 0 0 0 6 0;
8 0 0 0 6 0 0 0 3;
4 0 0 8 0 3 0 0 1;
7 0 0 0 2 0 0 0 6;
0 6 0 0 0 0 2 8 0;
0 0 0 4 1 9 0 0 5;
0 0 0 0 8 0 0 7 9]

# variable
@variable(m, x[1:9,1:9,1:9], Bin)

#costraint
for ind = 1:9 # Each row, OR each column
    for k = 1:9 # Each digit
        @constraint(m,sum{x[ind,j,k],j=1:9}==1)
        @constraint(m,sum{x[i,ind,k],i=1:9}==1)
    end
end

for i = 1:9, j = 1:9
    @constraint(m,sum{x[i,j,k],k=1:9}==1)
end

for i = 1:3:7, j = 1:3:7, k = 1:9
# i is the top left row, j is the top left column
# For each 3x3 square, we sum from from row i to i+2 and column j to j+2
    @constraint(m, sum{x[r,c,k], r=i:i+2, c=j:j+2} == 1)
end

for i = 1:9, j = 1:9
    # If the space isn’t empty
    if init_sol[i,j] != 0
    # Then the corresponding variable for that digit and location must be 1
    @constraint(m, x[i,j,init_sol[i,j]] == 1)
    end
end